Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [36]
Существует множество программ для создания фрактальной музыки (MusiNum, LMUSe, Gingerbread, The Well Tempered Fractal), которые позволяют автоматически генерировать приятные мелодии. Фил Томпсон, британский программист и музыкант-любитель, начал заниматься фрактальной музыкой как хобби и в 1998 г. выпустил первый альбом Organized Chaos. Его композиции, которые он сам считает открытиями, основаны на множестве Мандельброта. Томпсон создал программу Gingerbread, которая работает следующим образом. Выбирается начальная точка z, затем к ее орбите, получаемой с помощью квадратичной функции, применяются определенные преобразования, в результате чего координаты точек превращаются в ноты. Когда орбита выходит за границы окружности радиуса 2, мелодия начинается снова. Программа предлагает невероятное множество вариантов. Таким образом, с ее помощью можно создать огромное число разнообразных композиций. Без знаний математики и музыки можно создавать классические композиции и поп-музыку, начиная от саундтреков к фильмам и заканчивая фоновой музыкой для сайтов. Создатель программы гарантирует, что количество исходных данных бесконечно велико. Он определяет фрактальную музыку как особую форму композиции, при которой пользователь не «изобретает», а «открывает» музыку.
Существует ли точное определение фрактала? Мандельброт в книге «Фрактальные объекты» утверждает, что существует только эмпирическое определение и что ни одно теоретическое определение не является полностью удовлетворительным. Иногда говорят, что фракталы — это объекты с дробной размерностью, но это утверждение вдвойне ошибочно, так как размерность фракталов может быть иррациональным (как, например, для треугольника Серпинского) или целым числом (для кривых, покрывающих плоскость, или для границы множества Мандельброта).
Возможно, точнее всего можно определить фрактал через его свойства: фрактал — это фигура, обладающая самоподобием (составные части подобны всей фигуре целиком), которая строится посредством итеративного процесса, зависит от начальных условий и имеет сложную структуру, несмотря на простоту алгоритма построения. Британский математик Кеннет Фальконер в своей книге Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications («Фрактальная геометрия. Математические основы и приложения», 1990), определяет фрактальную структуру как структуру, обладающую одним из нижеперечисленных свойств:
1. Она слишком неравномерна, поэтому ее нельзя описать в терминах классической геометрии.
2. Ее детали заметны при любом масштабе наблюдений.
3. Она обладает самоподобием в некотором смысле (точным, примерным или статистическим).
4. Ее размерность Хаусдорфа-Безиковича строго больше ее топологической размерности.
5. Она строится с помощью простого рекурсивного алгоритма.
В 1975 г. Мандельброт дал фракталам такое определение: фракталы — это фигуры, которые являются результатом повторяющихся математических процессов, описываются не дифференцируемыми функциями, обладают самоподобием в любом масштабе и имеют фрактальную размерность.
Его не полностью устраивало это определение, и в 1982 г. Мандельброт определил фрактал как множество, у которого размерность Хаусдорфа строго больше, чем топологическая размерность. Тем не менее он сам признавал, что это определение недостаточно общее и не описывает отдельные объекты, которые являются фракталами, в частности кривые, покрывающие плоскость, к которым относятся кривая Пеано и кривая Гильберта (о них подробно рассказывается в первой части второй главы)[25].
Можно принять точку зрения Барнсли, который понимал фракталы как аттракторы систем итерируемых функций, а можно придерживаться определения, которое приводит Джудит Седерберг в книге A Course in Modern Geometries («Курс современной геометрии», 2001). Оно звучит так: фрактал — это множество точек, обладающее самоподобием в строго детерминированном или строго стохастическом (случайном) смысле. Множество Мандельброта не удовлетворяет ни одному из этих определений, что может представлять некоторые неудобства (или наоборот). Седерберг пишет по этому поводу:
«Природа (или математическое описание?) множества Мандельброта — это наглядная аналогия того, что в музыке называется «тема с вариациями»: одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… Рассматривая его, мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания. Благодаря этой неизменной новизне, множество Мандельброта можно назвать предельным фракталом, так как оно содержит другие фракталы внутри себя. По сравнению с обычными фракталами оно содержит больше элементов, обладает большей гармоничностью, а его неожиданные свойства еще более неожиданны».
САМООПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ФРАКТАЛЫ
Существуют различные классификации фракталов по их свойствам. В зависимости от степени самоподобия все фракталы можно разделить на пять больших категорий:
1. Самоповторяющиеся. Эта категория накладывает наиболее строгие ограничения, так как необходимо, чтобы фрактал не изменялся в зависимости от масштаба наблюдений. К этой группе относятся канторово множество, треугольник Серпинского, кривая Пеано, снежинка Коха, кривая дракона, губка Менгера и так далее.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.