40 лет назад никто не слышал о фракталах. Ученые имели определенное представление о них, но даже самого понятия «фрактал» тогда еще не существовало. В своей книге «Новый ум короля» профессор Роджер Пенроуз придерживается мнения, что математика — это череда открытий уже существующего, а не изобретений нового. Математические объекты — это некие идеальные представления, которые отражают кажущийся порядок в определенных аспектах окружающего нас мира.
Облака, деревья, молнии, сталактиты и даже павлиний хвост — все эти объекты можно описать с помощью фрактальной геометрии подобно тому, как Землю можно представить в форме шара, а моллюсков-наутилусов — в виде спирали. Земля не является идеальной сферой или идеальным эллипсоидом. Однако подобная модель очень полезна, например, при вычислении времени и места затмений, и обеспечивает достаточную точность.
Перелом в описании Вселенной произошел, когда ученые обратили внимание на новые геометрические объекты, ранее считавшиеся случайными или не имеющими особого значения. Эти новые объекты имели неравномерную, а порой и хаотичную структуру. В попытках структурировать этот «беспорядок» были найдены правила, которые до этого игнорировались, шаблоны, которые повторялись при разном масштабе наблюдений. Именно тогда, как объясняет Нассим Николас Талеб в своей книге «Черный лебедь», все элементы головоломки, известные еще Платону, Ципфу и Юлу, сошлись в руках Бенуа Мандельброта. Согласно Талебу, именно Мандельброт связал случайность (на поверку оказавшуюся мнимой) и геометрию и тем самым привел вопрос к логическому завершению. Чтобы подтвердить свою теорию, ему пришлось обратиться к работам никому не известных на тот момент математиков.
Спустя некоторое время обнаружились множественные взаимосвязи между этим новым разделом математики и другими науками: биологией, геологией, урбанистикой, технологией и даже искусством. Почти одновременно с этим на свет появилось гак называемое множество Мандельброта, где в результате простого последовательного возведения числа в квадрат появляется удивительное по красоте и сложности изображение. Оно не только является порождением нашего разума, но и содержит в себе особый мир.
Математические обозначения находятся вне времени: они описывают реальность, в которой мы живем, и одновременно выходят далеко за рамки материального мира. С момента зарождения цивилизации человек стремился познать законы Вселенной. Фракталы — это новый взгляд на мир, который мы только-только начали постигать.
Глава 1
Развитие геометрии: Мандельброт против Евклида
«Прямые, те, что параллельны, на бесконечности сходятся!» —
Так непрестанно, упорно Евклид утверждал.
Но вот умер он и лишь после смерти узнал,
Что две параллельных прямых расходятся.
Черт бы всех их побрал!
Пит Хейн. Груки
С давних пор люди пытались понять строение космоса. Они стремились найти законы Вселенной, которым подчиняется движение планет и форма галактик, искали формулы, позволяющие предсказать падение предметов, старались понять полет птиц, изучали анатомию живых существ и строение человеческого разума.
В целом космос делится на две части: микрокосмос и макрокосмос. Макрокосмосом называют множество объектов Вселенной, которые по размерам сопоставимы с нашей планетой, Солнечной системой, галактикой или созвездиями. Микрокосмос, напротив, образуют все объекты, которые по размерам сопоставимы с человеком или даже меньше его. Например, сюда относятся органы нашего тела, вирусы и молекулы. Человеку всегда было интересно то, что нельзя увидеть или предсказать, и это любопытство двигало его в дали макрокосмоса и в глубины микрокосмоса.
Еще с древних времен считалось, что между микрокосмосом и макрокосмосом есть взаимосвязь. В Древней Греции верили, что элементы всего сущего, начиная от макрокосмоса и заканчивая микрокосмосом, воспроизводятся по одним и тем же схемам и правилам. Древнегреческие философы, увидев, что соотношение 1,6180…, позднее названное золотым сечением, присутствует во всех явлениях природы, попытались дать этому рациональное объяснение и тем самым совершили первый шаг к унификации микро- и макрокосмоса. В арабских источниках 650 г. встречаются переведенные тексты изумрудной скрижали, которую, по легенде, написал Гермес Трисмегист (от его имени происходит слово «герметичный»). В изумрудной скрижали раскрываются тайны «первичнои материи» и ее видоизменении, описывается «великое делание» — основной рецепт алхимии. Вторая заповедь скрижали гласит: «То, что находится внизу, соответствует тому, что пребывает вверху; и то, что пребывает вверху, соответствует тому, что находится внизу, чтобы осуществить чудеса единой вещи». Основная цель алхимии — понять таинственную связь между микрокосмосом и макрокосмосом и тем самым обрести мудрость.
Желание греков унифицировать микро- и макромиры нашло отражение в недавно появившемся разделе математики. В одной из многочисленных областей геометрии рассматриваются два основных понятия: самоподобие и непрерывность. Оба эти понятия со временем постепенно уточнялись и дополнялись. Именно о них мы подробно поговорим далее и расскажем о некоторых весьма интересных математических конструкциях.
