Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [3]

* * *

Если судить по тому, о чем мы только что рассказали, может показаться, что геометрия носит чисто практический характер, но история показывает, что это не совсем так. Иногда предметом изучения геометрии становились объекты, невидимые глазу. В трактате «Тимей» Платон говорит о поисках некоего вещества, из которого должно состоять все сущее. Он перечисляет пять основных элементов: огонь, воздух, земля, вода и эфир. Путем логических рассуждений в соответствие каждому элементу ставится геометрическая фигура: огню — тетраэдр, воздуху — октаэдр, земле — гексаэдр, то есть куб, воде — икосаэдр, эфиру — додекаэдр. Эти пять многогранников, которые позднее стали называть Платоновыми телами, — единственные существующие правильные многогранники. (Вспомним, что многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками, равными между собой, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.)

Изображения Платоновых тел, созданные Леонардо да Винчи для знаменитого шедевра Луки Пачоли «О божественной пропорции» (Венеция, 1509).

В свою очередь, немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) в течение двадцати лет безуспешно пытался описать Солнечную систему как гармоничную совокупность сфер и правильных многогранников. Он предположил, что орбиты шести известных в то время планет лежат на поверхностях шести сфер, разделенных вписанными в них многогранниками.

Наибольшая сфера заключает в себе орбиту Сатурна и отделена от орбиты Юпитера кубом. Между Юпитером и Марсом Кеплер поместил тетраэдр, между Марсом и Землей — додекаэдр, между Землей и Венерой — икосаэдр, между Венерой и Меркурием — октаэдр. Вся эта конструкция соответствовала результатам наблюдений, за исключением орбиты Меркурия.

Вверху — гравюра авторства Фредерика Маккензи, на которой изображен Иоганн Кеплер. На иллюстрации внизу изображена модель Солнечной системы из пяти Платоновых тел, которую описал Кеплер в своей книге Mysterium Cosmographicum («Тайна мира», 1596).

Кеплер не смог объяснить разницу в восемь минут дуги между рассчитанной им круглой орбитой («совершеннейшей из траекторий») и результатами наблюдений астронома Тихо Браге (1546–1601). Разочарованный Кеплер понял, что от применения окружностей нужно отказаться. В конце концов он выстроил свою модель на основе эллипсов — в то время эта фигура использовалась редко. Сведения об эллипсах были известны благодаря книге Аполлония Пергского, которая уцелела при разрушении Александрийской библиотеки. Кеплер обнаружил, что эллиптическая орбита идеально соответствует результатам наблюдений Браге.

Ужасное божество

Оставим ненадолго хитросплетения геометрии и рассмотрим подробнее, почему люди так настойчиво стремились понять устройство окружающего мира. Для этого будет полезно ввести новое понятие — хаос.

Космос и хаос — две противоположности. Космос часто считают синонимом упорядоченности, а хаос — то же самое, что и беспорядок. Как и во многих других мифологиях о происхождении богов, в «Теогонии» греческого поэта Гесиода воплощением хаоса была богиня Хаос[1]. С космосом, напротив, не связывалось какое-либо божество. Слово «хаос» происходит от протоиндоевропейского корня ghen, означающего «пустой» или «раскрывшийся». Возможно, в те времена, когда было придумано слово «хаос», оно означало пространство, заключенное между небом и землей. Позднее в силу различных причин этим словом стали обозначать беспорядок.

С самых истоков цивилизации люди наблюдали необъяснимые явления, которые удивляли и внушали страх. О подобных явлениях часто говорят, что они принадлежат к миру хаоса. Согласно «Теогонии» Гесиода, написанной примерно 2700 лет назад, боги появились, чтобы образовать порядок из хаоса и тем самым защитить людей. История науки следует по тому же пути: ученые стремятся найти порядок среди хаоса, и в этом им неизменно помогает математика.

Люди, подобно богам, пытались упорядочить хаос. Платон в свое время утверждал, что природа строится по математическим законам, и на протяжении веков многие ученые разделяли его точку зрения. Для проявлений упорядоченности в природе необходимо найти математическое объяснение. Но как быть с теми явлениями, которые не вписываются в общий порядок?

По мнению популяризаторов науки Иена Стюарта и Мартина Голубицкого, в хаосе среди кажущегося беспорядка формируются новые формы упорядоченности. Но вне зависимости от того, какое определение мы дадим хаосу, в буквальном смысле он означает отсутствие какой бы то ни было упорядоченности. По сути, Стюарт и Голубицкий говорят об особом виде хаоса — математическом понятии, которое появилось в теории динамических систем. Идея о том, что хаос как полное отсутствие упорядоченности не существует, является частью древних верований, согласно которым есть некая общая теория, объясняющая все, будь то теогония, алхимия или наука.

ХАОС КАК ВСЕОБЩЕЕ НАЧАЛО

Поэма «Теогония» греческого автора Гесиода (VII–VIII вв. до н. э.) начинается с описания того, как появилась Вселенная из Хаоса — необозримой бездны, где беспорядочно движутся элементы всего сущего. В глубине этой изначальной бездны существовали две необъяснимые родственные сущности: Эреб (Мрак) и Нюкта (Ночь). Они отделились друг от друга и от своей матери Хаос и породили свои противоположности: Эфир (Свет) и Гемеру (День). День и Ночь объединились и образовали Время. Вслед за ними появилась Гея — элемент стабильности, праматерь, которая в столкновении с хаосом породила все сущее, затем Эрос — любовь, создатель жизни, и Тартар — преисподняя. Они не были потомками Хаоса. Гея без вмешательства мужского начала породила недостающую часть Вселенной — Уран (Небо), которое полностью накрыло ее. Пара Небо-Земля образовала симметричный и равновесный мир в Космосе.