Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [37]

Шрифт
Интервал

2. Линейные — те, которые строятся с помощью аффинных преобразований. Фракталы этого типа содержат уменьшенные копии всей фигуры целиком, но видоизмененные с помощью линейных функций, как, например, лист папоротника Барнсли.

3. Самоподобные. Фракталы этого типа содержат уменьшенные копии фигуры целиком, видоизмененные с помощью нелинейных функций, как, например, множество Жюлиа.

4. Квазисамоподобные. Фракталы этой группы более или менее идентичны в различном масштабе. Такие фракталы содержат уменьшенные и деформированные копии всей фигуры целиком. Как правило, к этому типу относятся фракталы, определенные с помощью рекурсивных процедур, как, например, множество Мандельброта или фрактал Ляпунова.

5. Статистически самоподобные. Эти фракталы обладают меньшим уровнем самоподобия. В них присутствует какая-либо числовая или статистическая метрика, которая не изменяется в зависимости от масштаба. Сюда относятся случайные фракталы, например траектория броуновского движения, полет Леви, фрактальные пейзажи и броуновские деревья.


Природа не фрактальна

В книгах, посвященных фракталам, часто можно встретить утверждения вида «в природе существует множество фрактальных объектов». В действительности это не совсем так. Когда мы говорим, что, например, граница, дерево или венозная сеть являются фракталами, в действительности имеется в виду, что для них существуют фрактальные модели достаточно высокой точности. В реальном мире не существует фракталов, как не существует прямых или окружностей.

Однако математические модели, описывающие реальность, помогают нам лучше понять ее. Подобно тому как теория относительности описывает орбиту Меркурия точнее, чем ньютоновская механика, фрактальная геометрия описывает форму некоторых объектов точнее, чем геометрия Евклида. Возможно, она точнее описывает и динамику реальных процессов.

Множество Мандельброта содержит бесконечно много деталей, и его рассмотрению в различных масштабах можно посвятить всю жизнь. Точно так же мы можем изучать и реальный мир, начав с молекул, затем перейдя к атомам, а от них — к нейтронам и другим субатомным частицам. Возможно ли, что в один прекрасный день мы достигнем предела? Или же, подобно множеству Мандельброта, предела не существует и здесь? Этого никто не знает.


Избавляемся от мечты о детерминизме

В словарях хаос определяется как «беспорядочная материя, неорганизованная стихия», существовавшая в мировом пространстве до образования известного человеку мира. Однако у ученых есть что добавить к этому определению.

Математическая теория хаоса является частью точной науки. В ней нет места неточностям и неопределенности. Разумеется, название теории хаоса восходит к традиционному смыслу этого слова, но хаос в математике — это не волк, а скорее овца в волчьей шкуре: он открывает нам дорогу в мир хаотичных структур и систем, которыми мы со временем научимся управлять.

Фрактальная геометрия и хаос тесно связаны друг с другом, и понять один из этих разделов математики без другого непросто. Фрактальная геометрия изучает самоподобные и парадоксальные фигуры, а теория хаоса изучает поведение непредсказуемых процессов и занимается поисками упорядоченности в них. Оба этих раздела математики, которые бурно развиваются в последние 20 лет, связаны между собой: среди хаоса формируются фракталы, которые можно использовать в попытках дать определение хаосу. Где же находится точка пересечения теории хаоса и фрактальной геометрии? Теория хаоса возникла в так называемой теории динамических систем. Любая динамическая система состоит из двух частей: состояния (обычно выражается через координаты) и динамики (изменения состояния с течением времени). Эволюцию динамической системы можно представить движением точек в координатном пространстве, каждой точке которого соответствует некое состояние системы. Это пространство называется фазовым пространством. Если эволюция системы подчиняется некоторому закону или законам (даже если их природа неизвестна), они неизменны с течением времени и последующее состояние можно описать через предыдущее, то речь идет о так называемой детерминированной динамической системе. Определение «детерминированная» означает, что эволюцию системы можно предсказать.

Один из самых удивительных результатов современной физики заключается в том, что предсказать поведение многих детерминированных динамических систем через длительные промежутки времени невозможно, так как на каждой итерации накапливаются ошибки. Подобные детерминированные динамические системы, которые очень чувствительны к относительно небольшим изменениям, называются хаотическими. Столь высокая чувствительность означает, что две возможные траектории перемещения точек, которые изначально расположены очень близко друг от друга, с течением времени могут очень сильно разойтись. То, что подобным поведением отличаются системы с большим количеством переменных, было известно давно. Однако, что удивительно, этой же особенностью обладают и очень простые системы.

В 1776 г. французский математик Пьер Симон Лаплас категорично заявил, что если бы ему были известны скорость и положение всех частиц во Вселенной в определенный момент времени, то он смог бы с идеальной точностью узнать прошлое и предсказать будущее. Свыше 100 лет это утверждение казалось верным. Из него следует, что свободы воли не существует, так как все детерминировано, по меньшей мере в теории. Такое видение мира позднее стало называться детерминизмом Лапласа. Применительно к науке оно означает, что если нам известны законы, которым подчиняется некое явление, известны начальные условия и даны средства расчетов, то мы можем с полной уверенностью предсказать будущее состояние изучаемой системы.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.


Том 20. Творчество  в  математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.