Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [38]
В конце XIX в. Пуанкаре задался вопросом, будет ли Солнечная система неизменно стабильной. Этот французский математик первым задумался над вероятностью того, что поведение системы существенно зависит от начальных условий:
«Поведение системы можно проанализировать, повторяя один и тот же эксперимент с одинаковыми начальными значениями в одинаковых условиях, чтобы было возможным получить одинаковые результаты. Это приводит нас к принципу причинности. Если одни и те же причины ведут к одним и тем же следствиям, речь идет о сильной причинности. Однако в большинстве случаев возможно достичь лишь схожих начальных условий, поэтому говорить о сильной причинности нельзя. Схожие причины имеют схожие следствия».
В 1903 г. Пуанкаре так охарактеризовал случайность: «Случайность служит мерой нашего невежества».
Наука XX в. засвидетельствовала крушение детерминизма Лапласа, вызванное двумя разными причинами. Первая вытекает из принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Согласно ему существует фундаментальное ограничение точности, с которой можно измерить положение и скорость частицы. Однако непредсказуемость поведения системы в целом (и вторая причина, опровергающая детерминизм Лапласа) вызвана не принципом Гейзенберга.
В крупном масштабе некоторые события являются предсказуемыми, другие — нет. Траекторию полета мяча можно предсказать, траекторию полета воздушного шара, которая подчиняется дуновению ветра, предугадать не получится. И мяч, и воздушный шар подчиняются законам Ньютона. Но почему предсказать траекторию движения воздушного шара сложнее? Движение воды в тихой реке стабильно, равномерно, и его можно легко описать с помощью уравнений. Тем не менее в других условиях движение воды может быть нестабильным, непостоянным, могут образовываться завихрения. Чем обусловлена эта принципиальная разница? Советский физик Лев Ландау предположил, что с ростом скорости движения воды совокупность колебаний, по отдельности простых, приводит к тому, что поведение всего потока в целом предсказать нельзя. Однако было доказано, что теория Ландау ошибочна. Явления природы становятся непредсказуемыми из-за роста ошибок измерения и, как следствие, из-за неопределенности эволюции системы ввиду ее хаотической динамики. Именно хаотическая динамика и является второй причиной краха детерминизма Лапласа. Квантовая механика подтверждает, что начальные измерения не могут быть абсолютно точными, а хаотическая динамика делает невозможными любые попытки предсказать поведение системы.
Как мы уже отмечали, первым математиком, который «открыл» хаос или по меньшей мере попытался интуитивно понять его, был Пуанкаре. В 1890 г., когда Пуанкаре работал над решением астрономической задачи трех тел (суть задачи — определить положение и скорости трех тел произвольной массы, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона, например Солнца, Земли и Луны, в любой момент времени), он обнаружил, что тела в этой задаче могут вращаться по хаотическим орбитам. Спустя восемь лет его соотечественник Жак Адамар опубликовал работу о хаотическом движении трех частиц, имевшую огромное влияние, в которой доказал, что траектории этих частиц нестабильны и отклоняются друг от друга. Адамар анализировал движение трех частиц при наличии трения вдоль поверхности с отрицательной кривизной. Эта поверхность впоследствии получила название «бильярд Адамара».
В 1963 г. американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц занимался изучением определенных уравнений, которые, как он надеялся, помогли бы предсказывать погоду, и попытался представить их графически с помощью компьютеров. Самые быстрые компьютеры того времени были довольно медленными по сравнению с сегодняшними, поэтому как-то раз Лоренц вышел попить чаю, пока компьютер не закончит расчеты. Вернувшись, он обнаружил очень странную фигуру, которая получила название аттрактора Лоренца.
Графическое изображение аттрактора Лоренца.
Лоренц посчитал, что произошла какая-то ошибка, и повторил расчеты несколько раз, но результат не изменился. Тогда он подумал, что проблема заключена в самой системе. Тщательно изучив ее и подставив различные параметры, он заметил, что начальные условия были очень похожими, но результаты симуляций заметно отличались. Лоренц обратил внимание на то, что система, созданная им самим, позволяла указывать начальные условия с точностью не более трех знаков после запятой, но в действительности программа работала с шестью знаками после запятой, а три последних знака задавались случайным образом. Лоренц пришел к выводу, что эти незначительные, практически незаметные ошибки в начальных условиях увеличивались экспоненциально. К сожалению, Лоренц опубликовал свои результаты в специализированных метеорологических журналах, и о них никто не вспоминал почти десять лет.
Это явление, которое сегодня носит название чувствительности к начальным условиям, упоминается уже в работах Адамара и неявно в работах Пуанкаре. Если углубиться в историю, то можно вспомнить шотландского физика Джеймса Клерка Максвелла, который в 1876 г. занимался изучением различных хаотических событий, например искр, с которых начинается лесной пожар, или камня, с падением которого обрушивается лавина
