Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [34]

Множество Жюлиа, соответствующее с = -1 с последовательными приближениями (изображены в виде линий вокруг множества точек черного цвета), рассчитанными по алгоритму времени убегания.

Различным значениям с соответствуют различные множества Жюлиа:

Анализ этих фигур показывает, что существует два принципиально разных класса множеств Жюлиа: те, которые образованы одной фигурой (такие множества Жюлиа называют связными), и те, что разделены на бесконечное множество отдельных точек вблизи друг от друга (такие множества называют несвязными).

На основании этой классификации можно разделить значения константы с, которую мы будем называть комплексным параметром, на два отдельных множества: те, которые порождают связные фигуры для итерации z_{n +1} = z² + с, и те, что порождают несвязные фигуры.

ИГРА В ХАОС

Алгоритм нахождения последовательных приближений множества Жюлиа работает очень медленно. Чтобы быстро получить достаточно детальное изображение множества Жюлиа, обычно используется другой алгоритм, который носит название игры в хаос. В предыдущей главе мы говорили о так называемых аффинных преобразованиях, которые при итеративном применении дают линейный фрактал. Теперь нам понадобится найти преобразования, которые при итеративном применении дают множество Жюлиа. Однако эти преобразования не могут быть аффинными, так как множества Жюлиа не обладают линейным самоподобием. В свою очередь, когда к точкам, находящимся вблизи множества Жюлиа (и вне его) применяются итеративные преобразования z —> z² + с, орбита этих точек уходит в бесконечность. Иными словами, множество Жюлиа выступает в роли репеллера. Если же теперь мы рассмотрим обратное преобразование, то множество Жюлиа будет уже не репеллером, а аттрактором. Как записывается это обратное преобразование? Пусть w — следующая точка итерации w = z² + с. Если мы хотим перейти к предыдущей операции, нужно выделить z из этого уравнения. Получим два решения:

z = +√(w — c);

z = -√(w — c).

Игра в хаос выглядит так: выбирается произвольная начальная точка, затем рассчитываются два изображения в соответствии с предыдущими преобразованиями. Процесс повторяется для всех полученных точек, результаты отображаются на экране. Чем больше итераций мы выполним, тем точнее будет полученное изображение множества Жюлиа.

Вселенная в одной песчинке

Деление множеств Жюлиа на связные и несвязные возникло не случайно. Именно в ходе исследований множества Жюлиа был открыт один из самых удивительных математических объектов — множество Мандельброта.

На первый взгляд, составление подобной классификации множеств Жюлиа невозможно, так как считалось, что для этого нужно проанализировать все возможные точки всех возможных множеств Жюлиа для каждого параметра с, которых бесконечно много. Однако Мандельброт использовал теорему, которую независимо друг от друга доказали Жюлиа и Фату примерно в 1919 г. Согласно этой теореме, орбита точки 0 определяет, является ли множество Жюлиа связным или нет. В частности, эта теорема подтверждает, что если орбита этой точки уходит в бесконечность, то множество Жюлиа несвязное; в противном случае множество Жюлиа является связным. Эта теорема имеет огромное значение, так как теперь достаточно выполнить итерацию для единственной точки z₀ = (0,0), чтобы определить природу множества Жюлиа.

Это очень точный и удобный способ выяснить, является ли множество Жюлиа связным. Но когда можно считать, что орбита точки (0, 0) уходит в бесконечность? Это нам уже известно: орбита уходит в бесконечность, если в какой-то момент она выходит за пределы окружности радиуса 2 и радиуса, равного |с|.

Мандельброт использовал это свойство, чтобы определить значения константы с, для которой множества Жюлиа являются связными. Когда он изобразил полученный набор значений с на комплексной плоскости, то увидел удивительную фигуру.

Грубо говоря, множество Мандельброта можно считать кардиоидой (кривой в форме сердца), которой касается бесконечное множество окружностей, среди которых выделяется одна наибольшего размера, расположенная слева от кардиоиды. При увеличении этой окружности становится видно, как она соединяется нитями с другими «аналогичными» структурами. Хотя кажется, что повсюду разбросаны отдельные точки, никак не соединенные друг с другом, в действительности множество Мандельброта является связным.

Множество внутренних точек этого множества имеет размерность 2. Несмотря на то что топологическая размерность границы множества Мандельброта равна единице, в 1991 г. японский математик Мицухиро Шишикура доказал, к удивлению многих, что ее размерность Хаусдорфа равна двум[23].

Если внимательно изучить последовательность кругов все меньшего диаметра, которые расположены вдоль горизонтальной оси, можно заметить следующее правило: отношение диаметров соседних кругов стремится к константе, примерно равной 4,6692… Это значение, которое называется постоянной Фейгенбаума, фигурирует в описании множества природных явлений. Причины этого до сих пор неясны.

Изображения множества Мандельброта будут более красивыми, а его границы — более отчетливыми, если использовать алгоритм времени убегания и палитру из нескольких разных цветов. Будем выделять разными цветами точки с различной скоростью убегания. Например, будем обозначать точку зеленым цветом, если ее орбита выходит за пределы окружности радиуса 2 за 11–20 итераций, желтым — если требуется 21–30 итераций (смотрите цветную вкладку в конце книги).