Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [32]

. В прямоугольных координатах любому комплексному числу z сопоставлена точка с двумя координатами — вещественной и мнимой. Мнимые координаты откладываются на вертикальной оси, мнимая единица обозначается буквой i. Мнимое число i является квадратным корнем из -1. Именно поэтому комплексные числа долгое время назывались мнимыми. Они не так сложны, как может показаться, и благодаря им удалось упростить многие теории и формулировки. Для обозначения комплексных чисел на плоскости используется прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси откладывается значение вещественной части, по вертикальной оси — значение мнимой части. Запишем одно и то же комплексное число через декартовы координаты, в алгебраическом виде и в полярных координатах:

z = (1/2, √3/2) = (1/2) + (√3/2i) = 1_60°

В этой формуле z — комплексное число, вещественная часть которого равна 1/2, мнимая — √3/2. Это равносильно тому, что радиус-вектор соответствующей точки комплексной плоскости имеет длину 1 и образует угол в 60° с горизонтальной осью. Для сложения двух комплексных чисел достаточно сложить по отдельности их вещественные и мнимые части. Например, если z₁ = (-2,4) и z₂ = (3,1), их сумма равна (1, 5). Если представить эти числа графически, то мы увидим, что их сумма — это всего лишь точка на диагонали параллелограмма, образованного радиус-векторами этих чисел. Чтобы выполнить умножение, достаточно следовать простым правилам: i² заменяется на -1, так как i равно квадратному корню из -1:

z₁z₂ = (-2 + 4i)(3 + i) = —2(3 + i) + 4i(3 + i) = (-6 — 2i) + (12i — 4) = -10 + 10i.

Полученной точке соответствует радиус-вектор, угол которого равен сумме углов радиус-векторов данных чисел, а длина (которая называется модулем) равна произведению длин этих радиус-векторов.

Импульсивно-компульсивные вычисления

Важнейший вывод всех упомянутых работ был таков: с помощью очень простой формулы можно получить сложные результаты. Как мы увидим чуть позже, этот вывод имел большое значение для всей науки в целом.

В итеративной процедуре результат вычислений, полученный на предыдущем этапе, является входным значением для вычислений на следующем этапе. Суть этого метода в том, что с некоторым числом выполняется определенная операция, она же выполняется над полученным результатом, затем над результатом, полученным на следующем этапе, и так до бесконечности. В формальном виде это можно представить так:

x_n+1 = f(x_n).

Чтоб лучше понять, о чем идет речь, представим, что этой операцией является возведение числа в квадрат. В этом случае запись примет следующий вид:

x_n+1 = x_n²

Примем в качестве начального значения любое число, например x₀ = 2. Тогда на первом шаге получим х₁ = 2² = 4; затем х₂ = 4² = 16, х₃ = 16² = 256 и так далее. Полученная последовательность чисел (в нашем примере это последовательность 2, 4, 16, 256….) называется орбитой, а точка, к которой стремится эта последовательность (в нашем случае это бесконечно удаленная точка), называется аттрактором.

Если рассматривать эту же операцию возведения в квадрат, но выбрать начальное значение, меньшее 1, например x₀ = 0,5, то аттрактором будет 0. Если x₀ = 1, результат на любом шаге всегда будет равен 1. В этом случае говорят, что орбита состоит из одной точки, которая называется фиксированной точкой.

В конце XIX в. математики, физики и биологи проявляли большой интерес к итеративному процессу, в котором значение, полученное на предыдущем шаге, возводилось в квадрат и складывалось с некой константой. На языке математики это называется семейством квадратичных функций вещественной переменной. Интерес научного сообщества был вызван тем, что это семейство функций было связано с рядом различных теорий, которые со временем были объединены в так называемую теорию хаоса.

Точки-пленники, или Как найти выход из лабиринта

Жюлиа и Фату первыми исследовали итерируемые комплексные функции, и полученные ими результаты легли в основу всех последующих работ в области фрактальной геометрии. Помимо прочего, Жюлиа и Фату изучали поведение комплексных чисел при их последовательном возведении в квадрат и сложении результата с константой. В виде формулы это выражается так:

z_n+1 = z_n² + c,

где z — комплексное число, с — комплексная константа. Суть формулы проста: нужно взять число, умножить его на само себя, сложить с константой с и повторять эти действия над каждым полученным результатом снова и снова. В полученной последовательности комплексных чисел каждое число зависит только от выбора начальной точки и константы с.

В 1906 г. Фату доказал, что если применить эту операцию ко всем точкам комплексной плоскости, то большинство полученных орбит будут заканчиваться на бесконечности, за исключением четко определенного множества точек, внутренняя часть которого сегодня известна как множество Фату. Эти точки можно назвать «пленниками», а остальные точки — «изгнанниками». Точки на границе между ними, «охранники», образуют множество Жюлиа.

Рассмотрим подробнее эту операцию при с = (0, 0). Квадрат комплексного числа — это точка комплексной плоскости, модуль радиус-вектора которой равен квадрату модуля радиус-вектора исходной точки, а угол с горизонтальной осью в два раза больше исходного.