Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [31]
В этом смысле одним из важнейших открытий является теорема коллажа, которую сформулировал Барнсли в 1985 г. Допустим, дано некоторое множество L и соответствующая система итерируемых функций. Чтобы узнать, в какой степени эта система функций аппроксимирует L, построим отображение L для каждой функции и объединим их в одно общее изображение. Отличие между исходным и полученным изображением подскажет, как можно приближенно описать множество L с помощью данной системы функций.
Например, допустим, что дано изображение кленового листа и мы хотим описать его с помощью системы итерируемых функций. Так как в теореме коллажа не уточняется, какую систему нужно выбрать, лучше довериться интуиции и попытаться сформировать коллаж из различных копий исходного изображения листа. Чтобы упростить процесс, в нашем примере мы будем использовать только аффинные преобразования и ограничимся тремя функциями. На следующих изображениях показано преобразование каждой копии, выделенное прямоугольной рамкой. Представим, что преобразованные копии являются прозрачными, и расположим их поверх исходного изображения. На рисунке черным цветом выделены покрытые части исходного изображения. Части изображения, выделенные разными оттенками серого, по теореме коллажа указывают, насколько далек аттрактор системы итерируемых функций от искомого изображения.
Написание программ, которые способны решить эту задачу для произвольных изображений, и сегодня остается актуальной темой исследований и вызывает большой интерес ученых.
Глава 4
Скрытый порядок
Когда в 1980 году я сказал друзьям, что вместе с X. Хаббардом работаю над многочленами второй степени от комплексной переменной… меня спросили: «И ты надеешься найти что-то новоеР».
Адриен Дуади
Вы уже знаете, что такое размерность, самоподобие и непрерывность, и теперь мы готовы с головой окунуться в обширный мир фракталов и познакомиться поближе с самым знаменитым из них — множеством Мандельброта. Не стоит забывать, что на основе очень простых правил можно построить чрезвычайно сложные фигуры, как вы уже увидели из предыдущих глав этой книги. Этот принцип выполняется не только для фракталов, о которых мы уже рассказали и о которых поговорим и в этой главе. Ему также подчиняется великое множество явлений природы. Фрактальная геометрия предлагает аналогии и модели, которые, возможно, помогут нам в будущем найти некий универсальный закон Вселенной. Если этот закон существует, то в нем должна учитываться его извечная противоположность — хаос.
Множество Мандельброта, также именуемое множеством М, обладает многими примечательными свойствами. Возможно, самое привлекательное и загадочное из них таково: это множество бесконечно сложно, но строится по очень простым правилам, понятным любому, кто умеет складывать и умножать. Однако стоит отметить, что при построении множества Мандельброта сложение и умножение придется выполнить несколько триллионов раз. Поэтому множество Мандельброта было открыто только с появлением современных компьютеров.
Как мы расскажем позднее, теоретические основы, благодаря которым открытие множества Мандельброта стало возможным, были сформированы в 20-е годы прошлого столетия усилиями французских математиков Гастона Жюлиа (1893–1978) и Пьера Фату (1878–1929). В 1918 г. Жюлиа опубликовал несколько статей о комплексных числах, где описал свойства определенных множеств, которые в то время нельзя было изобразить графически. Позднее эти множества получили название множеств Жюлиа.
В 1978 г. французский математик Адриен Дуади (1935–2006) и американец Джон Хамал Хаббард (р. 1945) с помощью специально созданной программы смогли получить первые изображения множеств Жюлиа — нечеткие и невысокого качества. Годом позже Мандельброт опубликовал собственные изображения, полученные в научно-исследовательском центре IBM. Первое изображение множества Мандельброта датируется 1981 г. Оно было получено совместными усилиями Роберта Брукса и Петера Мательски.
Дуади и Хаббард подробно изучили множество Мандельброта, доказав, что оно является связным и компактным и что его внутренняя часть состоит из счетного множества компонентов. Наконец, они же записали каноническую формулу множества Мандельброта — квадратичную комплексную функцию z>2 + с.
В свое время Мандельброт сказал, что крупнейшей проблемой для исследователей при изучении этого множества станет написание алгоритма его визуализации. В своей книге «Фрактальные объекты» он признает первенство работ Жюлиа и Фату, а также отмечает: «Я работал так, как ненавидят работать теоретики: я любовался незабываемыми картинами, используя компьютер как микроскоп, имея в своем распоряжении примитивные инструменты 1980 года».
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА НЕ ТАК СЛОЖНЫ, КАК МОЖЕТ ПОКАЗАТЬСЯ
Вещественные числа обозначают все точки, расположенные на числовой прямой, причем каждому числу соответствует точка и каждой точке соответствует число. Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления вещественных чисел. Так называемые комплексные числа определяются аналогичным образом стой лишь разницей, что им в соответствие ставятся точки, расположенные не на прямой, а на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Существует три способа определения комплексных чисел: в прямоугольной системе координат, в полярных координатах и в алгебраической форме. Комплексные числа обычно обозначаются буквой
