Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [33]

В следующей таблице приведены значения z, z², z⁴, z⁸, z¹⁶, z³² для трех разных комплексных чисел: внутри единичной окружности (иными словами, модуль этого числа меньше единицы), на единичной окружности и, наконец, вне единичной окружности. На рисунке приведено геометрическое представление всех трех случаев.

В таблице вверху приведены расчеты для трех типов орбит.

Орбита, описанная в левой части таблицы, стремится к началу координат; та, что в центре таблицы, описывает единичную окружность; та, что справа, уходит в бесконечность.

На рисунках представлено графическое изображение этих трех орбит на комплексной плоскости.

Мы видим, что для точки внутри окружности орбита стремится к началу координат, для точки вне окружности — уходит в бесконечность, а точка, которая находилась на единичной окружности, по-прежнему остается на ней. Чем больше модуль исходного числа, тем быстрее оно удаляется от единичной окружности. Таким образом, комплексная плоскость делится на две части: «пленников», которые находятся внутри единичной окружности, и точек вне ее, которым «удалось сбежать». В этом случае множество Жюлиа представляет собой единичную окружность — множество точек-«охранников». Заметим еще один факт (впоследствии он сыграет очень большую роль): множество Жюлиа инвариантно по отношению к квадратичной функции, то есть любая орбита, начало которой находится на множестве Жюлиа, останется на этом же множестве.

Заметим, что существуют две фиксированные точки: (0, 0) и (1, 0). В этом случае точка (0, 0) является аттрактором, так как к ней стремятся орбиты всех точек внутри окружности. Говорят, что в этом случае внутри единичной окружности располагается область притяжения аттрактора — точка (0, 0). Точка (1, 0) является неподвижной точкой — репеллером, так как рядом с ней существуют точки, например, (1, 01, 0), орбиты которых уходят в бесконечность.

Если мы будем считать бесконечность еще одной точкой плоскости и обозначим ее знаком <*>, то будем говорить, что точка °° является неподвижной, а ее область притяжения будет состоять из всех точек, лежащих вне единичной окружности.

Единичная окружность — простейший пример множества Жюлиа. Оно обладает теми же свойствами, что и большинство множеств Жюлиа: оно является границей области притяжения аттрактора (0, 0) и

, динамика в окрестности точек этого множества неустойчива.

Частный случай z_n+1 = z_n², который обычно записывается в виде z —> z², — это своеобразный вход в мир удивительных и прекрасных фрактальных множеств Жюлиа.

Чтобы получить изображение других множеств Жюлиа, например для с = 0,5 + 0,5i, нам понадобится помощь компьютера. В теории для каждой точки плоскости нужно подтвердить, что ее орбита стремится к нулю или к бесконечности. На практике это невозможно, поэтому, чтобы изобразить множество Жюлиа, нужно использовать альтернативные алгоритмы.

На следующем рисунке показана таблица с данными для орбит нескольких точек, а также изображение множества Жюлиа, соответствующего с = 0,5 + 0,5i.

Три орбиты, которые уходят в бесконечность.

Орбиты для некоторых точек при с = 0,5 + 0,5i.

В верхней таблице орбиты всех точек уходят в бесконечность. В нижней таблице все орбиты стремятся к определенной неподвижной точке (-0,409, 0,275).

При рассмотрении таблиц можно увидеть, что если начальная точка очень удалена от центра, то есть модуль ее радиус-вектора очень велик, то орбита этой точки будет уходить в бесконечность. Но начиная с какого значения выполняется это правило? К счастью, на этот вопрос существует точный ответ. В общем случае радиус окружности будет наибольшим из двух чисел: 2 и модуля с. Любая орбита, начальная точка которой лежит вне этой окружности, будет уходить в бесконечность. Этот результат крайне важен для определения множества Мандельброта, что мы продемонстрируем несколько позже.

На основе этого факта можно разработать алгоритм, который позволит точно определить множество точек-«пленников». Первым приближением границы для с = 0,5 + 0,5i будет окружность радиуса 2. Если мы запрограммируем этот алгоритм так, что он будет обрабатывать пиксели экрана (каждой точке будет соответствовать пиксель), то получим очень большое множество точек (в зависимости от выбранной точности). Тем не менее это множество будет конечным. Компьютер вычислит значение выражения на первой итерации и пометит определенным цветом точки, которые уже на первой итерации оказались вне окружности радиуса 2. Остальные точки будут помечены черным цветом. Граница множества черных точек будет вторым приближением множества Жюлиа. Для оставшихся черных точек (на каждой итерации их будет все меньше) произведем вторую итерацию вычислений и выделим цветом точки, которые окажутся вне круга радиуса 2. Остальные точки по-прежнему будут черного цвета.

Эти действия будут повторяться для всех точек черного цвета, которых с каждым разом будет становиться все меньше, пока изменения множества черных точек не станут неразличимы на экране. Этот алгоритм, который называется алгоритмом времени убегания (escape time), для с = —1 дает следующее изображение множества Жюлиа: