Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - [40]

Подсчет бесконечностей

В течение следующих семи лет Уайлс как одержимый работал над доказательством. Первые два года он посвятил исключительно обзору задачи и рассмотрению всех возможных подходов, стремясь найти метод, который мог бы сработать. По этому поводу англичанин Джон Идензор Литлвуд как-то сказал, что математик должен чувствовать задачу, «словно язык у себя во рту». Основным местом развития событий стал чердак в доме Уайлса в окрестностях Принстона. Уайлс отключил телефон и, не слишком хорошо знакомый с компьютерами, покрывал тысячи и тысячи страниц всевозможными формулами, рисунками, схемами и графиками. Работа продвигалась очень медленно: иногда он пробовал применить уже известный метод, чтобы перейти от одного шага доказательства к другому, в других случаях он слегка изменял известные методы, наконец, в некоторых случаях просто требовалось изобретать нечто совершенно новое. Поначалу Уайлс держал тему своей работы в строжайшем секрете.

Сперва он оценил возможность «подсчитать» все эллиптические функции (напомним, что их бесконечно много), с одной стороны, и модулярные эллиптические функции (которых также бесконечно много) — с другой, и показать, что вычисления в обоих случаях эквивалентны. Этот способ оказался неэффективным, но по ходу работы Уайлс получил важный результат, который помог упростить задачу: вместо доказательства гипотезы Таниямы — Симуры для всех эллиптических кривых нужно было доказать эту гипотезу только для их подмножества, так называемых полустабильных кривых.

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832). Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х² — 4х + 1 = 0

имеет корни х₁ = 2 + √3 и х₂ = 2 — √3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x₁ + x₂ = 4

x₁x₂ = 1

Оба уравнения будут по-прежнему верны, если мы поменяем местами х₁ и х₂

x₂ + x₁ = 4

x₂x₁ = 1

Галуа подробно изучил функции, инвариантные по отношению к перестановке корней, и определил так называемую группу Галуа для уравнений. Например, группа Галуа для многочлена х² — 4х + 1 = 0 состоит из двух перестановок: неизменной (в результате которой корни остаются «на своих местах») и транспозиции (показанной в примере).

Эндрю Уайлс в 2000 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

Свойства групп Галуа — очень мощный инструмент, который позволяет охарактеризовать чрезвычайно сложные структуры. Уайлс использовал их, чтобы преодолеть первое препятствие на пути к доказательству. В частности, он определил эллиптические уравнения в терминах представлений Галуа и доказал, что их можно ассоциировать с некоторыми характерными элементами модулярных форм. Таким образом, Уайлс переформулировал задачу о подсчете, использовав более «податливые» понятия. Этот первый, но очень важный шаг сам по себе уже заслуживал признания со стороны математического сообщества. Но это был всего лишь первый шаг, а Уайлс потратил на него два года непрерывного труда.

Уайлс работал в полном одиночестве, откуда же он брал силы, чтобы не отступаться от задачи? По его словам, «когда ты полностью сосредоточен, лучший способ расслабиться — это поговорить с детьми. Им не интересна теорема Ферма, по крайней мере, в столь нежном возрасте. Они хотят слушать только сказки». Остается лишь добавить, что Уайлсу повезло: его дети не проявили такого интереса к теореме Ферма, как он сам, когда был ребенком.

* * *

ПОРОЧНЫЙ ГЕНИЙ

Эварист Галуа был молодым человеком с горячим сердцем, который не раздумывая встал на сторону республиканцев в смутные времена Луи-Филиппа I, последнего короля Франции. Он также был одним из величайших гениев за всю историю математики. Его пылкий и непокорный характер, тяготы и лишения, свойственные научной работе, и проваленные вступительные экзамены в Политехническую школу привели к тому, что его труды были почти не известны современникам. Отдушину от неудач в науке Галуа нашел в политическом радикализме. Из-за своих политических взглядов он получил вызов на дуэль от офицера артиллерии, который симпатизировал монархистам.

Галуа знал, что плохо умел обращаться с оружием, поэтому в последнюю ночь перед дуэлью он лихорадочно пишет письмо, где кратко излагает итоги своих исследований, и отправляет его своему другу, блестящему математику Огюсту Шевалье. На следующее утро Галуа был смертельно ранен в живот и скончался через несколько часов. В своем последнем письме он изложил основы теории, которая позднее получила его имя и стала одним из основных разделов современной алгебры. Ему был всего 21 год.

Портрет Эвариста Галуа в возрасте 15 лет сделан с натуры его одноклассником.

* * *

Новый метод подсчета, придуманный Уайлсом, также содержал интересные аналогии с темой его докторской диссертации — теорией Ивасавы. Наступил 1988 год, и Уайлс чувствовал, что другие математики уже дышат ему в затылок. Можно представить, как он побледнел, когда 8 марта прочитал на первых страницах газет, что последнюю теорему Ферма доказал японец по имени Иоичи Мияока. Хотя подробности доказательства не публиковались, некоторые специалисты во всеуслышание заявили, что общая схема представленного доказательства верна. Однако спустя несколько месяцев стало ясно, что доказательство содержало серьезную ошибку. В замке по-прежнему было темно. Призрак Ферма вновь улыбнулся, и Уайлс — вместе с ним.