Когда мы объясняем кому-то теорему Ферма, то в ответ обычно слышим: «Ничего особенного». Формулировка этой теоремы столь проста, что сложно удержаться от искушения взять лист бумаги и проверить несколько чисел, позабыв на мгновение, что речь идет об одной из сложнейших математических задач всех времен. Одним из многих наивных, кто попался в эту ловушку, был британец Эндрю Уайлс. Ему не было и десяти лет, когда он увлекся этой теоремой и той историей, что ее окружает. Молодой человек бесстрашно приступил к доказательству теоремы, зная лишь немногим больше курса математики начальной школы, и, разумеется, ему пришлось отступить. Но, в отличие от многих, Уайлс, который впоследствии стал выдающимся математиком, упорно пытался снова и снова доказать теорему, посвятив ей всю свою жизнь. История этого гениального математика, одержимого доказательством единственной грандиозной задачи, — часть прекрасного и многогранного полотна, на котором изображена история теоремы Ферма. Рассказом об Эндрю Уайлсе начинается и заканчивается эта книга.
В первой главе мы перенесемся в 1993 год, когда Уайлс удивил весь мир, объявив, что ему удалось доказать знаменитую теорему. Самая известная и самая трудная математическая задача всех времен в конце концов была решена, и это удивительное достижение попало на первые полосы всех мировых газет. Увы, спустя некоторое время эксперты обнаружили ошибки в доказательстве. Однако казалось, что эти ошибки можно быстро исправить. Шли месяцы, а Уайлс, к которому было приковано внимание всего математического мира, по-прежнему хранил молчание.
Быть может, это был всего лишь заманчивый мираж? Неужели знаменитая теорема снова, как и на протяжении последних трех столетий, оказалась неприступной?
Во второй главе мы ненадолго оставим Уайлса, вернемся больше чем на 3000 лет назад и расскажем о математике в Древней Индии и Шумерии. Последняя теорема Ферма тесно связана со знаменитой ключевой теоремой геометрии — теоремой Пифагора. Ее открытие обычно приписывают греческому математику Пифагору, но в действительности она была известна в Азии и на Ближнем Востоке за много веков до него.
Третья глава — краткая биография нашего главного героя, Пьера де Ферма. Он был адвокатом по профессии и математиком по призванию. В его время научных журналов не существовало, открытия совершались одиночками, и о них становилось известно из переписки, например, таких выдающихся ученых, как сам Ферма, Блез Паскаль, Рене Декарт и братья Бернулли. Обрисовав столь увлекательную картину, в четвертой главе мы поговорим о том, как «Арифметика» Диофанта навела Ферма на мысль о его великой теореме, а также о попытках доказать ее на протяжении трех последующих веков, пока Уайлс не предложил окончательное доказательство. Наша история изобилует известными именами: мы упомянем Гаусса, «принца математиков»; Софи Жермен — женщину, которая выдавала себя за мужчину; мы расскажем о Леонарде Эйлере и Эваристе Галуа, об Эрнсте Куммере, о японских математиках Ютаке Танияме и Горо Симуре.
В пятой и последней главе подробно рассказывается о сольном восхождении Уайлса на этот математический Эверест, которое стало кульминацией тысячелетней истории математики.
Без знаний математики невозможно получить от нее истинное удовольствие. Только приложив умственные и волевые усилия, можно в полной мере осознать всю ее красоту. И тогда пейзаж, который открывается перед нами, сравним с красивейшей сонатой, с торжеством природы, с высшим из наслаждений. Мечта автора — чтобы по прочтении этой книги читатель открыл для себя новые уголки математики неземной красоты и в полной мере насладился ими. Понять какие-то темы будет совсем нетрудно, другие — чуть сложнее. Автор ставил перед собой цель изложить материал доступным образом, оставив наиболее затруднительные моменты для дополнительного изучения. Автор ставил задачу рассказать эту историю так, чтобы читатель заново пережил 380 с лишним лет, которые понадобились для окончательного доказательства великой теоремы Ферма.
Глава 1
Луч света в математическом замке
В 1997 году в научно-популярной программе NOVA Эндрю Уайлса спросили, как бы он описал семь лет настойчивых, граничащих с одержимостью поисков, которые завершились доказательством последней теоремы Ферма — самой знаменитой теоремы всех времен. Уайлс ответил:
«Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Темно. Кромешная тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаёте, где что стоит. Наконец месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где вы. Затем вы переходите в следующую комнату и проводите там шесть месяцев во мраке»[1].
Этот «мрак», о котором говорит британский математик, не смогли преодолеть множество математиков в течение трех с половиной столетий. Теорема, сформулированная в 1630-е годы (точное время неизвестно) французом Пьером де Ферма (1601–1663), звучит так:
«Для любого натурального числа n > 2 уравнение
х>n + у>n = z>n
не имеет натуральных решений х, у и z».
Об этой теореме стало широко известно лишь тогда, когда сын Ферма, Саму эль, обнаружил ее на полях латинского издания «Арифметики» Диофанта. Это не столь удивительно, как может показаться, потому что Ферма посвящал большую часть времени профессиональной деятельности — адвокатуре и занимался наукой лишь в часы отдыха.
