Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - [2]
F = m·а,
где F обозначает силу, m — массу, а — ускорение.
Применение этой формулы выходит далеко за пределы вычисления ускорения частицы, ведь на самом деле второй закон Ньютона является так называемым дифференциальным уравнением, то есть уравнением, приравнивающим функции. В качестве пояснения рассмотрим обычное уравнение, например
х + 3 = 5.
В этом уравнении говорится, что х — это число, при добавлении к которому числа три получится пять. Таким образом, х равен двум.
В дифференциальном же уравнении неизвестное — это не число, а функция. Функцию можно понимать как механизм, который заданное число превращает в другое число. Например, функция х>2 дает нам квадрат любого числа, которое мы подставим вместо х: для двух — четыре; для трех — девять.
В дифференциальном уравнении необходимо найти функцию, которая удовлетворяла бы некоторым условиям. Любой физический закон можно выразить как систему дифференциальных уравнений, в которых показано, как некоторые физические величины изменяются с течением времени.
В уравнении второго закона Ньютона говорится, как найти ускорение тела. Однако узнав ускорение, мы можем получить гораздо больше информации. Ускорение — это изменение скорости за единицу времени, так что если мы знаем ускорение, то мы знаем и скорость. Далее, скорость говорит нам, как сильно меняется положение тела за некоторый промежуток времени, так что если мы знаем скорость, мы можем определить положение.
Таким образом, если мы решим уравнение второго закона Ньютона, то можем выяснить, в какой точке находится и с какой скоростью движется тело в каждый момент времени. И эти огромные возможности скрыты в короткой формуле.
* * *
РЕШАЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА
Уравнения Ньютона относительно просто решить при постоянном ускорении тела. Представим себе монету, падающую с Эйфелевой башни, высота которой составляет около 300 м. Мы знаем, что ее ускорение равно ускорению свободного падения, то есть 9,81 м/с>2 (для упрощения расчетов округлим до 10 м/с>2). Это означает, что монета каждую секунду движется на 10 м/с быстрее. Исходя из этой информации, мы можем вычислить, какова ее скорость в любой момент. Если исходное состояние — покой, то через секунду ее скорость будет 10 м/с; через две — 20 м/с; через десять — 100 м/с.
Узнав скорость, мы можем вычислить расстояние, которое монета прошла за время своего падения. Например, мы можем определить путь, пройденный за первые две секунды. Поскольку исходная скорость монеты равна нулю (монета не двигалась), а конечная — 20 м/с, монета перемещалась со средней скоростью 10 м/с. И поскольку она падала в течение двух секунд, пройденное расстояние равно 20 м. Выполняя одну и ту же операцию для различных временных интервалов, мы можем выразить высоту относительно времени в таблице.
Также мы можем построить график, в котором видно положение монеты в каждый момент времени.
* * *
Несмотря на всю свою важность, законы Ньютона оказались малоприменимы к некоторым типам задач. Но чтобы понять причину этого, нам нужно обратиться к такому понятию, как координаты.
Большинству людей знаком, как минимум, один тип координат: долгота и широта. Зная эти числа, мы можем ориентироваться по карте. Координаты частицы — это группа чисел, позволяющих определить ее положение. Наиболее распространена прямоугольная система координат х и у (названа так Декартом, который эту систему и ввел).
Как видите, если известна координата х (горизонтальное положение) и у (вертикальное положение), можно определить положение частицы на рисунке. Если бы мы говорили о частице в трех измерениях, нам потребовалось бы еще одно число для выражения глубины, или координата z. Если предположить, что газ находится в закрытой коробке, то для уточнения его состояния нужно знать положение каждой его частицы, то есть все три ее координаты. Если учесть, что число частиц в коробке, наполненной воздухом, около 10>23, то есть двадцать три нуля после единицы, несложно догадаться, что сделать нечто подобное является слишком сложной задачей.
Координаты х и у подходят для того, чтобы представить, например, машину, движущуюся по прямой. В этом случае, если выбрать у в качестве высоты, видно, что вертикальное положение машины всегда одно и то же, а горизонтальное с течением времени меняется. Описывать движение машины в прямоугольной системе координат просто: пройденное расстояние — это скорость, умноженная на время. Итак, если мы едем со скоростью 100 километров в час в течение трех часов, то проедем 300 километров.
Однако прямоугольная система координат не подходит для описания кругового движения (см. рисунок).
Если сосредоточиться на горизонтальном положении частицы, можно увидеть, что она движется справа налево и слева направо зигзагом. То же происходит и с вертикальным положением: если смотреть на частицу сбоку, кажется, что она движется сверху вниз, как показано на графике.
Такое простое движение, как круговое, имеет очень сложное выражение в прямоугольной системе координат.
В этом случае для указания положения на плоскости используются полярные координаты. С их помощью можно показать расстояние до центра и угол относительно горизонтальной оси, как показано на рисунке.
