Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - [5]

Этот математический объект оказался ключевым элементом, которого не хватало для дополнения принципа наименьшего действия, потому что его можно было использовать, имея в виду как кинетическую, так и потенциальную энергию. В новой формулировке утверждалось, что любое тело движется таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. За этой внешней простотой кроется удивительная способность прогнозировать движение любой классической системы, то есть любой системы, для описания которой нет необходимости прибегать к законам квантовой механики.

Кроме того, формула Лагранжа имеет еще два преимущества: во-первых, она подходит для любой системы координат, и это решило проблему уравнений Ньютона, применимых только для прямоугольной системы координат; во-вторых, эту формулу совершенно свободно можно применить к произвольному числу частиц.

Новая математика открыла для физиков новые возможности, поскольку теперь ученые уже не были ограничены изучением только простых систем, но могли обратить внимание на до сих пор не решенные задачи. Хотя формулировка Лагранжа соответствует законам Ньютона, на практике она позволяет максимально расширить действие этих законов. Изучение таких сложных систем, как газ, было бы невозможным без лагранжевой механики.

И все же, несмотря на всю свою важность, лагранжиан — это только инструмент, позволяющий узнать положение и скорость частицы. Следуя принципу наименьшего действия, траектория тела должна быть такой, чтобы лагранжиан уменьшался как можно быстрее. Но как найти эту траекторию? Одним из способов могло бы стать сравнение нескольких траекторий и выбор той, при которой лагранжиан уменьшается быстрее. К сожалению, количество существующих возможностей очень велико, и до изобретения компьютера не стоило и думать об этом методе. Для решения задачи Лагранжу пришлось воспользоваться вариационным исчислением — совершенно новым математическим инструментом.

Совместная работа Лагранжа и Эйлера привела ученых к открытию уравнений, известных сегодня как уравнения Эйлера — Лагранжа. Они сводят проблему нахождения наименьшего действия к решению системы дифференциальных уравнений, в которых неизвестное — это функция. Решение таких уравнений в XVIII веке было хорошо развито.

Можно представить метод Лагранжа следующим образом: берется некая траектория и слегка изменяется; затем исследуются похожие траектории и вычисляется, как уменьшается лагранжиан для всех них до тех пор, пока не находится подходящая траектория. На следующем графике можно наблюдать различные траектории частицы.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Принцип наименьшего действия гласит, что тела движутся таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. Однако существует и более точная формулировка, основанная на такой величине, как действие.

Предположим, что мы знаем, как развивается лагранжиан частицы во времени. Сначала представим это развитие графически.

Действие определяется как область под кривой лагранжиана между исходным моментом (t) и конечным моментом (t₁) движения за определенное время. То есть действие — это закрашенная на рисунке область.

Принцип наименьшего действия можно изложить следующим образом: тело движется так, что действие, связанное с его движением, минимально.

Вычисление площади под кривой может потребовать использования анализа бесконечно малых — области математики, разработанной независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем именно для решения физических задач.

* * *

Лагранж действительно воспользовался этой идеей для того, чтобы найти общую форму, которая позволила бы ему определить траекторию, не останавливаясь на вычислении уменьшения лагранжиана.

Теоретически уравнения Эйлера — Лагранжа могли бы использоваться для определения траектории каждой частицы газа, поскольку, как уже было сказано, их легко можно расширить на произвольное число частиц. Однако на практике из-за огромного количества частиц решить эти уравнения невозможно без помощи мощного компьютера.

Импульсы и положения

Одно из основных преимуществ лагранжевой механики состоит в том, что она была определена в терминах обобщенных координат. В отличие от законов Ньютона, она не предполагала использование прямоугольной системы координат, а была справедлива для любых других систем, подходящих для изучения проблемы. Обобщенные координаты необязательно должны быть выражены единицами измерения длины; как мы видели раньше, одна из них может быть углом. Главное требование к таким координатам — они должны быть достаточными для того, чтобы определить положение частицы в некоторой области пространства.

Чтобы отличить обобщенные координаты от прямоугольной системы координат, оси которых названы х, у, z, используется буква q с индексами — q₁, q₂  или q₃. Это очень удобно, когда рассматриваются системы с несколькими частицами, как в случае с газом.

В предыдущем примере с полярными координатами, где положение на плоскости задано расстоянием до центра и углом, можно определить:

q₁= r

q₂= Θ

Другой пример — сферические координаты.

В этом случае для определения положения в пространстве нужны три числа: расстояние до центра и два угла, как показано на рисунке. В этом случае получаются следующие обобщенные координаты: