Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - [6]
q>1= r
q>2= Θ
q>3= ф
Существует неограниченное количество вариантов, каждый из которых подходит для разных задач. Преимущество формулировки Лагранжа заключается в том, что координаты подстраиваются к задаче, а не наоборот.
Числовое значение лагранжиана определяется не только положением частицы, но и ее скоростью, квадрату которой пропорциональна кинетическая энергия. Скорость частицы определяется как изменение положения за единицу времени: если известно положение тела в каждый момент, известна и его скорость.
Зависимость лагранжиана от положения тела и, в свою очередь, от его изменения, усложняла решение уравнений. Если бы лагранжиан зависел только от положения, проводить вычисления было бы намного легче.
Уильям Роуэн Гамильтон предложил решение этой проблемы. Его идея заключалась в том, чтобы переформулировать уравнения Эйлера — Лагранжа таким образом, чтобы они зависели только от положения тела, но не от его скорости. Для этого оказалось необходимым понятие импульса.
Импульс — это мера того, насколько сложно остановить тело. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше усилий необходимо, чтобы его затормозить. Поскольку импульс растет как вместе с массой, так и вместе со скоростью, он определяется как произведение обеих величин. Импульс обозначается буквой р и математически выражается как:
р = m·v,
где m — масса, а v — скорость.
Понятие импульса было известно с древности, хотя современную трактовку он получил от Ньютона, который говорил, что импульс представляет собой количество движения. На основании законов Ньютона можно доказать, что для системы, на которую не воздействуют внешние силы, количество движения остается постоянным. Если мы сложим импульсы каждой частицы в разные моменты времени и сравним результаты, то увидим, что суммы импульсов равны.
Разговор об этом понятии тесно связан с третьим законом Ньютона, в котором утверждается, что любому действию соответствует равное ему противодействие. Более точная формулировка звучит так: когда тело А оказывает некоторую силу на тело В, последнее оказывает на тело А такую же силу в противоположном направлении.
Представим себе человека, опирающегося о стену. В это время человек оказывает на нее силу F. Стена, в свою очередь, воздействует на человека аналогичным образом, но в противоположном направлении, благодаря этому мы и не можем проходить сквозь стены. Точно так же Земля воздействует на нас с силой, равной той, с которой мы воздействуем на Землю, и благодаря этому мы не проваливаемся к центру планеты. Что произошло бы, если бы мы воздействовали на Землю с силой больше нашего веса? В этом случае Земля ответила бы такой же силой, и мы бы отлетели бы от ее поверхности, то есть совершили прыжок.
Используя закон действия и противодействия, можно доказать, что импульс системы частиц должен оставаться постоянным. Возьмем предыдущий пример с прыжком: с одной стороны, человек толкает Землю вниз, в то время как Земля толкает человека вверх. Сила, примененная к человеку, вызывает изменение его скорости, согласно второму закону Ньютона, в котором говорится, что сила пропорциональна ускорению. Точно так же сила, примененная к Земле, влечет изменение ее скорости. Естественно, изменение скорости человека намного больше: масса человека по сравнению с массой Земли очень незначительна. Хотя изменение скорости Земли незаметно ввиду огромной массы планеты, однако изменение ее импульса равно изменению импульса человека, но в противоположном направлении. Итак, оба изменения импульса взаимно сокращаются, и общий импульс остается постоянным.
* * *
УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН (1805–1865)
Гамильтон был ирландским физиком и математиком. Его главный вклад в физику состоял в том, что он вывел уравнения движения для тела в классической механике в их современном виде. Гамильтон изобрел кватернионы — систему представления комплексных чисел в четырех измерениях. Кватернионы подходят для описания любого типа вращений и широко использовались в физике, пока не были заменены векторным исчислением.
Гамильтон с детства проявил удивительные лингвистические способности, и уже к подростковому возрасту говорил на 12 языках. Однако потом эта его страсть уступила место все возрастающему интересу к математике, вызванному чтением великих трудов, таких как «Начала» Ньютона и «Небесная механика» Лапласа. Гамильтону удалось не только найти новые формулировки для законов Ньютона, но и построить параллели между механикой и оптикой, а затем перейти к разработке серии уравнений, применимых к обеим этим дисциплинам. Работы ученого использовал австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887–1961) для получения своего знаменитого уравнения, определяющего квантовую механику и использующего идею корпускулярно-волнового дуализма (вспомним, что механика работает с частицами, а оптика — с волнами).
* * *
Газ — это система частиц, на которую не воздействуют внешние силы. Это означает, что количество движения его частиц должно оставаться неизменным. Что удивительно, так это возможность сделать подобный прогноз, абсолютно ничего не зная о свойствах молекул, из которых состоит газ. Это делает возможными определенные вычисления, связанные с законами сохранения импульса или энергии. Эти законы являются фундаментальными для прогнозирования поведения какой-либо сложной системы.

Людвиг Больцман - одна из главных фигур в современной физике. Развив активную деятельность в Вене конца XIX века, он произвел революцию в изучении материи, включив в него вероятность, и всеми силами отстаивал существование атомов в то время, когда многие философы и даже влиятельные ученые отрицали его. Несмотря на то что обновленное ученым понятие энтропии и основывающееся на нем начало термодинамики заложили основы квантовой и релятивистской революции в последующем веке, категоричные взгляды Больцмана не всегда встречали поддержку коллег, и это непонимание, возможно, было причиной его трагического самоубийства.

Таблицу умножения перестроена, сделана новая картинка. Объём материала для запоминания сокращён примерно в 5 раз. Можно использовать самую сильную – зрительную память (в прежних картинках таблицы это невозможно). Ученики запоминали таблицу за один – полтора месяца. В ней всего 36 "домиков". Умножение и деление учаться одновременно. Книга обращена к детям, объяснение простое и понятное. Метод позволяет намного облегчить деление с остатком и сокращение дробей. Метод признан Министерством Просвещения России как полезная инновация (Муниципальное образование, инновации и эксперимент 2013/1)

Измерения играют важнейшую роль в современной науке, но без них немыслима и повседневная жизнь. Например, без измерений невозможно узнать, что находится рядом с нами, а что — вдали. Если мы составим список всех измерений, которые проводим в течение дня, то удивимся тому, каким длинным он будет. За свою историю человечество выработало различные методы измерений. С их помощью мы смогли определить размеры нашей планеты, протяженность межзвездного пространства и даже измерить время. В этой книге пойдет речь о математических методах, на которых строятся астрономические, геодезические, календарные и метрологические измерения.

Если вы хотите поразить одноклассников молниеносным решением квадратных уравнений [КУ], давайте развлечемся.

Алану Тьюрингу через 75 лет после сто смерти, в 2009 году, были принесены извинения от правительства Соединенного Королевства за то, как с ним обошлись при жизни. Ученого приговорили к принудительной химической терапии, повлекшей за собой необратимые физические изменения, из-за чего он покончил жизнь самоубийством в возрасте 41 года. Так прервался путь исследователя, признанного ключевой фигурой в развитии компьютеров, автора первой теоретической модели компьютера с центральным процессорным устройством, так называемой машины Тьюринга.

Книга известного американского популяризатора науки Мартина Гарднера, посвященная логическим и математическим парадоксам.Рассчитана на самый широкий круг читателей.