Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - [42]
Определение. Гомоморфизм ф: G → Н называют изоморфизмом групп, если выполняются следующие условия.
(1) Инъективность. Если а и b — два различных элемента G, то φ(а) и φ(b) — два различных элемента Н.
(2) Сюръективность. Каждый элемент Н является отображением некоторого элемента G, то есть для любого h группы Н существует такой элемент g группы G, что р(g) = h.
В силу свойств гомоморфизма нетрудно видеть, что инъективность эквивалентна другому условию, которое проще проверить на практике.
(1') Единственный элемент G, который отображение φ преобразует в нейтральный элемент Н, это нейтральный элемент G. Иными словами, если φ(g) = e>H, то g = e>G.
В самом деле, предположим, что выполняется условие (1) и что φ(g) = e>H. Так как р — гомоморфизм, мы знаем, что ф(e>G) = е>H, следовательно g обязательно должен совпадать с e>G — в противном случае два различных элемента будут иметь одинаковые отображения. Посмотрим, что произойдет, когда выполняется свойство
128
(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b)>-1 = е>H. Так как φ — гомоморфизм, ф(b)>-1 совпадает с φ(b>-1) и φ(а) · φ(>-1) = φ(а * b>-1). Следовательно, φ(а * b>-1) = e>H и из (1') следует, что а * b>-1= e>G. Умножив обе части на b, получим, что а = b.
В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).
Также упомянем следующее предложение.
Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.
Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.
Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).
Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.
Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.
129
Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <а>m> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.
Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение
которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((a>m)>ui,(a>r)>vi). Так как а имеет порядок n, получим, что а>i = а>i+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для а>i и а>i+kn совпадают. Для этого заметим, что
(a>m)>u(i+kn) = (a>m)>ui(a>n)>ukm = (a>m)>uie>ukm = (a>m)>ui
так как а>n = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(а>i) = φ(а>i+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим
φ(e) = φ(a>0) = ((a>m)>0, (a>r)>0) = (e, e) = e.
Рассмотрим второе условие:
φ(a>ia>j) = φ(a>i+j) = ((a>m)>u(i+j), (a>r)>u(i+j)) = ((a>m)>ui(a>m)>uj, (a>r)>vi(a>r)>vj) = ((a>m)>ui(a>r)>vi, (a>m)>ui(a>r)>vi) = φ(a>i) φ(a>j),
так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.
Для этого заметим, что <а> и <а>m> х <а>r> — группы одного порядка. В самом деле, элементы а>m и а>r имеют порядок r и m соответственно, так как
(а>m)>r = (а>r)>m == a>mr = a>n
а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <а>m> х <а>r> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.
130
С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(а>i) = е следует а>i = е. Если φ(а>i) — нейтральный элемент, то а
