Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - [44]

С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.

С другой стороны, имеем равенства y^l(u+1)-l = y^t(u+1)(u + i )= x^s(u+1), так как у имеет порядок l, и у^t = x^s.

Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = у^t = y^lr = x^sr.

В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.

Лемма 3. Пусть g — элемент порядка n группы G. Тогда n будет делителем любого целого числа d такого, что g^d = е.

Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.

Тогда е = g^d = g^{pn + r} = (gⁿ)^p g^r = g^r, так как gⁿ = e. Таким образом, g^r = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.

Так как x^sr = е, то, по лемме 3, sr нацело делится на порядок (х) = Ik, то есть существует v такое, что sr = Ikv. Подставив в это выражение значение f, которое

133

мы только что вычислили, получим sr = trkv. Так как r — порядок элемента у^t, это ненулевое целое число. Разделив на него обе части равенства, получим s = tkv.

Заключительная часть доказательства

В этом, последнем, разделе мы докажем, что группа G изоморфна прямому произведению циклических групп, порожденных х и x^-vky, где v — целое число, определенное в предыдущем разделе. Имеем элементы порядка lk и t соответственно.

В первом случае доказательство не требуется. Во втором случае заметим, что

(x^-vky)^t = x^-vkt y^t = x^-vkt x^s = x^s-vkt = e,

так как y^t = x^s и s = vkt. Если бы существовало другое целое число t' < t, для которого (х^-vky)^t' = е, то мы получили бы равенство у1 =x~vkt. Однако это выражение противоречит определению f как наименьшего целого числа, для которого у1 — степень х. Следовательно, x~vky имеет порядок f, а порядок прямого произведения <х>

равен Ikt.

Рассмотрим функцию φ:×>-vk>→G которая ставит в соответствие пару (хⁱ, (x^-vky)^j) элементу x^i-vky^j. Проведя расчеты, очень схожие с теми, что были выполнены при доказательстве леммы 1, получим, что φ определено однозначно и является гомоморфизмом групп (предлагаем читателю провести необходимые расчеты самостоятельно). Так как группы G и <х> х >-vk> имеют один и тот же порядок, то чтобы показать, что φ — изоморфизм, достаточно доказать, что это отображение является инъективным, то есть доказать, что из x^i-vky^j = e следует хⁱ = е и (x^-vky)^j = е. Последнее равенство эквивалентно равенству y^j = x^-vkj, таким образом, у^j является степенью х. Проведя рассуждения, по сути, аналогичные тем, что мы выполнили при доказательстве леммы 3, увидим, что j должно быть кратно t.

Следовательно, существует j' такое, что j = tj'. Имеем:

e = х^i-vk уⁱ = х^i-vktj' у^tj' = х^i-(vkt)j'x^sj' = х^i-sj' х^sj' = хⁱ,

так как у^t = х^s и s = ukt. Следовательно, как и требовалось, хⁱ = е. Мы показали, что группа G изоморфна прямому произведению двух циклических групп. Если их порядки выражаются взаимно простыми числами, эта группа изоморфна циклической группе. Теорема доказана.

134

Библиография

ARBONES, J., MlLRUD, P., La armoma es numerica. Musica y matematicas, Barcelona, RBA, 2010.

AUBIN, D., «The Withering Immortality of Nicolas Bourbaki: a Cultural Connector at the Confluence of Mathematics, Structuralism and the Oulipo in France», Science in Context, 10 (2), 1997, 297-342.

BERTHOLET, D., Claude Levi-Strauss, Granada, Universidad de Granada, 2003.

BOREL, A. ET AL., Andre Weil (1906-1998), numero especial de la Gazette des Mathematiciens, 1999.

BROUE, M., «Les tonalites musicales vues par un mathematicien», en «Le temps des savoirs», Revue de l’Institut Universitaire de France, 4, eds. D. Rousseau & M.

Morvan, Paris, Odile Jacob, 2002, 37-78.

BOURBAKI, N., «Foudations of Mathematics for the Working Mathematician», Journal of Symbolic Logic 14, 1949, 1-8. N.

—: Theorie des ensembles, Paris, Hermann, 1954.

—: «L’architecture des mathematiques», en Les grands courants de la pensee mathematique, Paris, ed. F. Le Lionnais, Cahiers du Sud, 1948, 35-47.

CALVINO, I., «Rapidez» en Seis propuestas para el proximo milenio, Madrid, Siruela, 1990.

CARTIER, P., «Le defi post-hilbertin», prologo a Jeremy J. Gray, Le defi de Hilbert. Un siecle de mathematiques, Paris, Dunond, 2003.

—: «Matematicos sin fronteras», Gaceta de la RSME, aparecera.

—: «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques III. Le structuralisme en mathematiques: mythe ou realite?, Prepublications de flHES M/98/28.

CARTIER, P., ChEMLA, K., «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques II. La creation des noms mathematiques: l’exemple de Bourbaki», Prepublications de ITHES M/98/20.

DIOFANTO, La «Aritmetica» y el libro «Sobre los numeros poligonales», ed. M. Benito Munoz, E. Fernandez Moral y M. Sanchez Benito, Tres Cantos, Nivola, 2007, 2 vols.