Том 22. Сон  разума. Математическая логика и ее парадоксы

Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математических рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы — неразрешимые на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории, а с другой — дают толчок их новому осмыслению.

Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым прошли эти ученые, выстраивая новый фундамент математики.

Жанры: Научпоп, Математика
Серия: Мир математики №22
Всего страниц: 47
ISBN: 978-5-9774-0717-5
Год издания: 2014
Формат: Полный

Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы читать онлайн бесплатно

Шрифт
Интервал

Предисловие

Супруги спорят между собой: «Ты всегда мне перечишь», — говорит жена. «Это не так», — возражает муж. «Видишь? Ты сам же это подтверждаешь», — снова критикует его жена. «Милая, ты права, я всего лишь тебе перечу», — признает муж в попытках положить конец спору. «Вот! Ты сам в этом признался!» — кричит жена и хлопает дверью. От подобных сцен не застрахован ни один, даже самый счастливый брак. Если бы философ и математик Бертран Рассел никогда не переживал подобные моменты, он бы не женился четыре раза. И все же его семейные ссоры, должно быть, завершались совершенно не так, как у других людей: после фразы «Ты сам же это подтверждаешь» Рассел, должно быть, помолчал несколько секунд и, сказав: «Да, дорогая, это очень интересно», закрылся в своем кабинете.

Зачем? Чтобы подумать об утверждениях, которые описывают сами себя, об истинном и ложном и осознать парадокс, который ставил под сомнение то, что математика последних двух тысяч лет является завершенным воплощением «сна разума».

Парадокс Рассела — один из главных действующих лиц этой книги, однако сначала мы расскажем о том, как открытие неевклидовой геометрии радикально изменило аксиоматический метод, и о том, что противоречие, положившее конец «счастливым и спокойным будням» Рассела, берет начало в традиции, восходящей, по меньшей мере, к Эпимениду Критскому. Парадокс Рассела был бы обычной математической диковинкой, если бы он не породил множество новых вопросов. Сначала мы поговорим о решении этого парадокса, которое предложил Давид Гильберт — один из умнейших людей своего времени. В течение 30 лет он сохранял уверенность, что в один прекрасный день математика навсегда освободится от парадоксов. Это же хотел доказать и юный Курт Гедель, однако он обнаружил, что в арифметике существуют истинные высказывания, которые невозможно доказать.

С того момента как Гёдель объявил о своем открытии на конференции в Кёнигсберге в сентябре 1930 года, его теоремы о неполноте продолжают удивлять специалистов в точных и гуманитарных науках. Некоторые сочли теоремы Гёделя знаком поражения разума, хотя преимущество в этой битве изначально было на его стороне, другие видели в них неоспоримое доказательство превосходства человека над машинами. Однако лишь те, кто в полной мере понял суть статей Гёделя, смогли вывести логику на новый уровень. Гениальный Алан Тьюринг — человек, взломавший дьявольские шифры нацистов, смог создать первые компьютеры, дав теоремам о неполноте новое толкование. Обо всем этом и о многом другом пойдет речь в этой книге.

Мы решили не ограничиваться нулями и единицами машин Тьюринга, а попытались сделать еще один шаг вперед и описать множество оттенков одного из последних «снов разума» — нечеткой логики.

Я хочу поблагодарить редакцию издательской компании RBA за предложение написать такую книгу. Именно слова «изложить популярным языком», упомянутые в одном из писем редактора, побудили меня начать каждую главу с небольшой художественной зарисовки. Без историй моей подруги Лауры Касильес, этой Шахерезады XXI века, я никогда не смог бы связать нечеткую логику и десерт в японском ресторане. Эпиграф к пятой главе родился благодаря Патрисии Фернандес де Лис, очарованной личностью Алана Тьюринга. Подробные комментарии Хесуса Фресана, Давида Гарсеса, Мигеля Эрнаиса, Виктории Лей Вега де Сеоане, Хавьера Мартинеса и Лус Рельо помогли мне существенно улучшить книгу.

Также я благодарен Марии Агирре Рокеро, Луису Аскарате, Ноэлю Гарридо, Хено Галарса, Марии Анхелес Леаль, Карлосу Мадриду, Хосе Марии Матеос, Гильермо Рей, Роберто Рубио, Марии Хосе Солер, Лукасу Санчесу и Микелю Тамайо за ценный вклад, который они внесли в создание этой книги.

Глава 1

Аксиоматический метод

Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство».

Николя Бурбаки


Энтузиазм, с которым адвокат Тауринус разорвал конверт, не теряя времени на поиски ножа, сменялся разочарованием по мере того, как он строчка за строчкой читал убористо исписанные две страницы. В этом письме, полученном одним ноябрьским утром 1824 года, содержался ответ Карла Фридриха Гаусса на заявление об открытии чрезвычайной важности — доказательстве пятого постулата Евклида.

К тому времени не осталось такого раздела физики и математики, куда Гаусс, которому исполнилось почти пятьдесят, не внес бы свой вклад, за что получил титул princeps mathematicorum — «король математиков». Однако ни в одной из его работ не был затронут важнейший вопрос того времени: верен ли пятый постулат? Можно ли через точку, не лежащую на данной прямой, провести одну и только одну прямую, параллельную данной? Ответ на этот вопрос в некотором роде позволил бы понять, какую форму имеет наш мир.

История Евклида и его труда, «Начал», где он изложил свои идеи, восходит к 300 году до н. э. Именно тогда этот древнегреческий математик, о котором нам почти ничего не известно, составил учебник по геометрии, где систематизировал все знания, которые до этого из уст в уста передавались пифагорейцами и учениками Платона. В то время как над входом в Академию Платона можно было прочесть фразу «Да не войдет сюда не знающий геометрии», «Начала» Евклида были предназначены для неподготовленного читателя и помогали понять науку о формах и фигурах с помощью простейших формулировок. Чтобы сделать свой труд более понятным и одновременно подчеркнуть четкость и строгость геометрии, Евклид начал изложение с ряда определений и аксиом, из которых, запасясь терпением, логически можно было вывести любое из сотен предложений, записанных в книге. Возможно, создание никакого другого учебника не имело столь радикальных последствий для развития всей человеческой мысли на протяжении последующих двух тысяч лет.


Еще от автора Хавьер Фресан
Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса.


Рекомендуем почитать
Песенка про нибелунгов

Я вам спеть хотел.Как умел, так и спел.А что голос дурен —Так ведь я не Кобзон.Коли слушать невмочь,Так проваливай прочь.А дождешься конца,Так похвалишь певца.


После боя

Борясь со Злом, будьте осторожны: вы можете победить.


Grimorium Verum, или Истинный Гримуар

Самые Достоверные Ключи Соломона, в которых описаны сокровеннейшие тайны Естественные и Сверхъестественные; но необходимо угодить и Демонам.


Гарри Поттер и Враг Сокола

Седьмой год учебы в Хогвартсе и…второй год семейной жизни! Гарри становится совершеннолетним, учится на анимага, и если вы думаете, что его учит Минерва МакГонагалл, значит, вы невнимательно читали «Гарри Поттер и Обряд Защиты Рода»;). Боюсь, что Волдеморт все же придет к власти, но надеюсь, что его торжество будет недолгим. Ну и кроме того: Дурсли и тетя Мардж, новый преподаватель по ЗОТИ, квиддич, Мародеры (без них скучно) и я полагаю, никто не забыл о Долорес Амбридж?


Падение кошки и другие зоосенсации

Эдуар Лоне, известный французский журналист и популяризатор науки, рассказывает в своей увлекательной, полной доброго юмора и тонких параллелей, книге о некоторых недавних открытиях зоологов. Лоне приглашает читателя совершить экскурсию в удивительный мир, где живут слоны-пьяницы, жирафы-гипертоники, истинно британские блохи, свободолюбивые мухи и другие не менее симпатичные существа, порой очень похожие на людей.


Живой кристалл

Книга содержит научно-популярное изложение современных представлений о физических явлениях и процессах, которые происходят в реальных кристаллах и определяют их физические свойства и эксплуатационные характеристики. Рассказано о движении атомов, составляющих решетку, о характеристиках и свойствах различных дефектов строения реальных кристаллов, о том, как кристалл хранит воспоминания о своем прошлом, повлиявшем на его структуру. Используемые в книге формулы вполне доступны овладевшему лишь начальными сведениями из алгебры.Книга рассчитана на всех лиц, интересующихся современным естествознанием.


Так кто же открыл Америку?

Ни для кого уже не является новостью, что Колумб не был первооткрывателем Нового Свата. Не были первыми и викинги — задолго до них плавали через Атлантику баски, берберы, кельты, жители Западной Африки, финикийцы, оставившие в Америке следы своего пребывания. Об этих свидетельствах, точках зрения различных научных школ рассказывается в этом выпуске.http://znak.traumlibrary.net.


Популярная палеогеография

Автор рассказывает о достижениях палеогеографии — науки, изучающей физико-географические условия минувших геологических эпох. История Земли и жизни на ней, от самого образования планеты до современности; дрейф материков и новая глобальная тектоника; процессы горообразования и климат прошлых эпох — вот только некоторые из тем, которым посвящена эта увлекательная книга.


Порох. От алхимии до артиллерии: История вещества, которое изменило мир

Аннотация издательства: Почему нежные китайские императрицы боялись «огненных крыс», а «пороховые обезьяны» вообще ничего не боялись? Почему для изготовления селитры нужна была моча пьяницы, а лучше всего — пьющего епископа? Почему в английской армии не было команды «целься», а слово «петарда» вызывало у современников Шекспира грубый хохот? Ответы на эти вопросы знает Джек Келли — американский писатель, историк и журналист, автор книги «Порох». Порох — одно из тех великих изобретений, что круто изменили ход истории.


Загадки древних времен

На протяжении всей истории человек пристально вглядывался в свое прошлое, стараясь разгадать его тайны. О загадках древних времен повествует последняя книга замечательного историка и публициста Владимира Бацалева. Читатель этой книги прикоснется к тайнам египетских фараонов, Троянской войны, Стоунхенджа, сокровищ майя и кладов русской земли…Счастливого плавания по увлекательной реке времен.


Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.


Том 20. Творчество  в  математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.