Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы - [5]

Новые системы аксиом

Первым следствием революции, произошедшей в геометрии, стало переопределение понятия аксиомы: теперь не имело смысла искать «очевидные истины». С момента рождения неевклидовой геометрии аксиома стала представлять собой не более чем утверждение, которое из соображений удобства становится основой некоторой теории, после чего из этого утверждения выводятся теоремы. Живительная особенность языка заключается в том, что мы можем сочетать слова так, как нам заблагорассудится, но если мы будем соблюдать определенные правила, наш собеседник всегда поймет нас, даже если мы произносим фразу впервые. Однако придумав новое слово, мы должны объяснить его значение другим людям, и если они посчитают это слово бесполезным или неблагозвучным, оно вряд ли приживется в языке. Нечто подобное происходит и в логике: утверждение нельзя доказать «с чистого листа» — на этом листе вначале нужно записать некоторые принципы, истины, с которыми согласны все, а также правила дедукции или логического вывода, благодаря которым мы сможем получить новые утверждения на основе аксиом.

Классический пример подобного правила — modus ponens, «утверждающий модус», который заключается в следующем: «Если А, то В» и если А истинно, то В истинно. Вновь отметим, что значение правил логического вывода, как и значение аксиом, исключительно формально. Так, силлогизм: «Все люди могут летать.

Икар — человек, следовательно, он может летать» — корректен, в то время как высказывание: «Если идет дождь, земля мокрая. Земля мокрая, следовательно, прошел дождь» корректным не является. Хотя высказывание о мокрой земле после дождя выглядит разумным, а высказывание о летающих людях — совершенно абсурдным, первое высказывание корректно, а во втором перепутаны причина и следствие. Действительно, после дождя земля мокрая, однако если земля мокрая, это необязательно связано с дождем: например, по улице просто могла пройти поливальная машина. Также существует modus tollens (от лат. modus tollendo tollens — «путь исключения исключений»), который гласит, что из утверждения «Если А, то В» при ложном В выводится ложность А, как в высказывании «Если что-то неизвестно, об этом лучше промолчать. Если я говорю, то я знаю, о чем говорю».

* * *

ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Структуру modus ponens и modus tollens удобнее запомнить, если записать их в виде схем, в которых посылки и заключение разделены линией. Если мы обозначим через ¬А и ¬В отрицания А и В, то есть утверждения, противоположные им по смыслу, то modus ponens и modus tollens будут описываться следующими схемами:

* * *

В общем случае правило вывода верно, когда его результат является истинным вне зависимости от толкования посылок. Так, высказывание «Если Р и Q, то R» корректно вне зависимости от значений Р, Q и R: всякий раз, когда Р и Q одновременно будут истинными, R также будет истинным. И вновь речь идет о формальном критерии, который подразумевает, например, что высказывание «Если ноль отличается от единицы и если единица равна нулю, то вы мой отец» является корректным. Так как ни в одном из возможных миров ноль не может отличаться от единицы и одновременно быть равным ей, исходные посылки никогда не будут верными. Это понимали уже схоластики, которые сформулировали выражение ех contradictione sequitur quodlibet, то есть «из противоречия следует все что угодно».

* * *

MODUS TОLLENS И ФАЛЬСИФИЦИРУЕМОСТЬ

Согласно философу Карлу Попперу (1902–1994), modus tollens — это единственное корректное правило вывода в естественных науках. Когда мы пытаемся объяснить какое-то явление, то научный метод, который Поппер назвал гипотетико-дедуктивным, заключается в том, чтобы выдвинуть гипотезу и провести эксперимент, который позволит опровергнуть ее. Если из гипотезы Н следует наблюдаемое следствие 0, которое неизменно повторяется в лабораторных условиях, то Н становится научным законом. Однако если мы не можем поочередно проверить все возможные ситуации, в которых применима наша гипотеза, то мы никогда не сможем быть уверенными в ее истинности. Чтобы быть уверенными в том, что все лебеди — белые, нужно исследовать все уголки планеты, однако достаточно увидеть всего одного черного лебедя, как это произошло с первыми поселенцами в Австралии, чтобы опровергнуть гипотезу. Этот принцип известен под названием принципа фальсифицируемости и является не чем иным, как modus tollens: «Если гипотеза Н верна, то из нее следует следствие 0. Так как мы наблюдаем противоположное 0, то гипотеза Н ложна».

Философ Карл Поппер в 1980-е годы.

* * *

Теперь, когда мы знаем, что такое аксиомы и правила вывода, мы можем дать точные определения понятиям «теория», «доказательство» и «теорема», которые на предыдущих страницах более или менее соответствовали привычным представлениям. Доказательство — это процесс, позволяющий получить новые результаты путем применения правил вывода к аксиомам. На практике доказательство представляет собой конечную последовательность утверждений, или высказываний, первое из которых обязательно должно быть аксиомой (в математике нет «чистых листов»!), а каждое из последующих может быть либо аксиомой, либо выводиться из предшествующих высказываний с помощью правил вывода. Последнее высказывание доказательства называется теоремой. Теория — это множество аксиом, правил вывода и всех теорем, которые можно доказать с помощью этих правил на основе аксиом. В некоторых случаях вместо «теория» мы будем говорить «система аксиом».