Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - [41]
Это нота до-диез — та же самая нота, которую мы вычислили методом обращения!
Если я не убедил вас, перейдем к следующей клетке квадрата. Ноте фа-диез соответствует элемент [2],
124
обратным ему является [10], так как [2] + [10] = [12] = [0].
А какой ноте соответствует [10]? Ноте ре! Следовательно, первый столбец нашего «руководства по музыкальной композиции» содержит элементы, обратные элементам основной последовательности, записанной в первой строке:
[0] [9] [10] [7] [8] [4] [11] [2] [1] [3] [5] [6].
ЛЕВИ-СТРОСС: Отлично, мы получили одну строку и один столбец. Мне кажется, я понял, как составить всю таблицу.
Теперь мы можем вычислить интервал, отделяющий ми от каждой ноты в столбце, и транспонировать первую строку так, чтобы структура мелодии не изменилась. Ми отделяют от до-диез девять полутонов. Прибавим этот интервал к каждой из нот в исходной последовательности:
до-диез | ми | ре-диез | фа-диез | фа | ля | ре | си | до | ля-диез | соль-диез | соль
ВЕЙЛЬ: Именно! А чтобы выполнить эту транспозицию, можно повернуть додекафонический круг на девять полутонов или же прибавить [9] к элементам первой строки. Вторая строка латинского квадрата будет выглядеть так:
[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3]
Выполним аналогичные действия для десяти оставшихся строк.
ми | соль | фа-диез | ля | соль-диез | до | фа | ре | ре-диез | до-диез | си | ля-диез |
до-диез | ми | ре-диез | фа-диез | фа | ля | ре | си | до | ля-диез | соль-диез | соль |
ре | фа | ми | соль | фа-диез | ля-диез | ре-диез | до | до-диез | си | ля | соль-диез |
си | ре | до-диез | ми | ре-диез | соль | до | ля | ля-диез | соль-диез | фа-диез | фа |
до | ре-диез | ре | фа | ми | соль-диез | до-диез | ля-диез | си | ля | соль | фа-диез |
соль-диез | си | ля-диез | до-диез | до | ми | ля | фа-диез | соль | фа | ре-диез | ре |
ре-диез | фа-диез | фа | соль-диез | соль | си | ми | до-диез | ре | до | ля-диез | ля |
фа-диез | ля | соль-диез | си | ля-диез | ре | соль | ми | фа | ре-диез | до-диез | до |
фа | соль-диез | соль | ля-диез | ля | до-диез | фа-диез | ре-диез | ми | ре | до | си |
соль | ля-диез | ля | до | си | ре-диез | соль-диез | фа | фа-диез | ми | ре | до-диез |
ля | до | си | ре | до-диез | фа | ля-диез | соль | соль-диез | фа-диез | ми | ре-диез |
ля-диез | до-диез | до | ре-диез | ре | фа-диез | си | соль-диез | ля | соль | фа | ми |
125
Как вы уже видели, эта таблица содержит ту же информацию, что и таблица
[0] | [3] | [2] | [5] | [4] | [8] | [1] | [10] | [11] | [9] | [7] | [6] |
[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3] |
[10] | [1] | [0] | [3] | [2] | [6] | [11] | [8] | [9] | [7] | [5] | [4] |
[7] | [10] | [9] | [0] | [11] | [3] | [8] | [5] | [6] | [4] | [2] | [1] |
[8] | [11] | [10] | [1] | [0] | [4] | [9] | [6] | [7] | [5] | [3] | [2] |
[4] | [7] | [6] | [9] | [8] | [0] | [5] | [2] | [3] | [1] | [11] | [10] |
[11] | [2] | [1] | [4] | [3] | [7] | [0] | [9] | [10] | [8] | [6] | [5] |
[2] | [5] | [4] | [7] | [6] | [10] | [3] | [0] | [1] | [11] | [9] | [8] |
[1] | [4] | [3] | [6] | [5] | [9] | [2] | [11] | [0] | [10] | [8] | [7] |
[3] | [6] | [5] | [8] | [7] | [11] | [4] | [1] | [2] | [0] | [10] | [9] |
[5] | [8] | [7] | [10] | [9] | [1] | [6] | [3] | [4] | [2] | [0] | [11] |
[6] | [9] | [8] | [11] | [10] | [2] | [7] | [4] | [5] | [3] | [1] | [0] |
ЛЕВИ-СТРОСС: На основе додекафонической таблицы, подобной той, которую мы только что составили, можно написать такую мелодию:
С одной стороны, на нижнем нотном стане в ключе фа записана основная последовательность нот из первой строки, на основе которых мы получили все остальные ноты. С другой стороны, на верхнем нотном стане записаны две мелодии: первая, состоящая из более низких звуков, соответствует второму столбцу таблицы, вторая, состоящая из более высоких звуков,— первой строке, прочитанной справа налево.
Число возможных вариантов практически бесконечно!
ВЕЙЛЬ: Так сегодня звучит музыка сфер.
ЛЕВИ-СТРОСС: И так мы будем слушать ее до тех пор, пока алгебра не разлучит нас.
126
Приложение
Конечные абелевы группы с двумя порождающими элементами[1]
В этом приложении приведено полное доказательство теоремы о структуре конечных абелевых групп с двумя порождающими элементами, которую упоминает Андре Вейль в диалоге с Клодом Леви-Строссом на стр. 73.
Теорема. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, изоморфна либо циклической группе, либо прямому произведению двух циклических групп.
Прежде чем перейти к доказательству, напомним, что такое изоморфизм групп, о котором мы вкратце упоминали на стр. 57.
Пусть G и Н — две группы. Обозначим их групповые операции * и · соответственно. Обозначим нейтральные элементы групп через е>G и е>H.
Определение. Гомоморфизм групп G и Н — это функция φ: G → Н, которая каждому элементу g группы С ставит в соответствие элемент φ(g) группы Н (отображение g) так, что при этом...
Если мы найдем отображение результата операции над двумя элементами С, а затем сначала применим φ к каждому элементу, после чего найдем результат операции на Н, то результат в обоих случаях будет одинаков: φ(а * * b) = φ(а) · φ(b).
Приведем два следствия из этого определения. Отображением нейтрального элемента G, заданным функцией ф, должен быть нейтральный элемент Н: ф(е>G) = е>H.
127
Так как е>G * е>G = е>G, имеем φ(е>G) = ф(е>G) · ф(е>G). Применив закон сокращения (см. стр. 58), мы можем сделать вывод: ф(е>G) = е>H. Также заметим, что гомоморфизм «сохраняет» обратные элементы: ф(g>-1) = ф(g)>-1 для любого g на группе G.
В самом деле, g * g>-1 = е>G, следовательно, ф(g*g>-1) = ф(е>G) = е>H в соответствии с доказанным выше. С другой стороны, по определению гомоморфизма ф(g*g>-1) = ф(g) · ф(g>-1). Из этих двух утверждений следует: ф(g) · ф(g>-1) = е>H — это равенство по-прежнему будет верным, если мы поменяем местами ф(g) и ф(g>-1). Следовательно, ф(g) — обратный элемент ф(g>-1).
Гомоморфизмы играют важнейшую роль при сравнении двух различных групп между собой. Особо выделим один частный случай, в котором две группы по своей структуре неразличимы, как, например, симметрическая группа S
На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математических рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы — неразрешимые на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории, а с другой — дают толчок их новому осмыслению.Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные явления.
Эта книга предназначена для людей, обладающих общим знанием биологии и интересом к ископаемым остаткам и эволюции. Примечания и ссылки в конце книги могут помочь разъяснить и уточнить разнообразные вопросы, к которым я здесь обращаюсь. Я прошу, чтобы мне простили несколько случайный характер упоминаемых ссылок, поскольку некоторые из затронутых здесь тем очень обширны, и им сопутствует долгая история исследований и плодотворных размышлений.
Книга «Инсектопедия» американского антрополога Хью Раффлза (род. 1958) – потрясающее исследование отношений, связывающих человека с прекрасными древними и непостижимо разными окружающими его насекомыми.Период существования человека соотносим с пребыванием насекомых рядом с ним. Крошечные создания окружают нас в повседневной жизни: едят нашу еду, живут в наших домах и спят с нами в постели. И как много мы о них знаем? Практически ничего.Книга о насекомых, составленная из расположенных в алфавитном порядке статей-эссе по типу энциклопедии (отсюда название «Инсектопедия»), предлагает читателю завораживающее исследование истории, науки, антропологии, экономики, философии и популярной культуры.
Технологии захватывают мир, и грани между естественным и рукотворным становятся все тоньше. Возможно, через пару десятилетий мы сможем искать информацию в интернете, лишь подумав об этом, – и жить многие сотни лет, искусственно обновляя своё тело. А если так случится – то что будет с человечеством? Что, если технологии избавят нас от необходимости работать, от старения и болезней? Всемирно признанный футуролог Герд Леонгард размышляет, как изменится мир вокруг нас и мы сами. В основу этой книги легло множество фактов и исследований, с помощью которых автор предсказывает будущее человечества.
В природе все взаимосвязано. Деятельность человека меняет ход и направление естественных процессов. Она может быть созидательной, способствующей обогащению природы, а может и вести к разрушению биосферы, к загрязнению окружающей среды. Главная тема книги — мысль о нашей ответственности перед потомками за природу, о возможностях и обязанностях каждого участвовать в сохранении и разумном использовании богатств Земли.
Томас Альва Эдисон — один из тех людей, кто внес наибольший вклад в тот облик мира, каким мы видим его сегодня. Этот американский изобретатель, самый плодовитый в XX веке, запатентовал более тысячи изобретений, которые еще при жизни сделали его легендарным. Он участвовал в создании фонографа, телеграфа, телефона и первых аппаратов, запечатлевающих движение, — предшественников кинематографа. Однако нет никаких сомнений в том, что его главное достижение — это электрическое освещение, пришедшее во все уголки планеты с созданием лампы накаливания, а также разработка первой электростанции.
Книга авторитетного британского ученого Джона Дрейера посвящена истории астрономии с древнейших времен до XVII века. Автор прослеживает эволюцию представлений об устройстве Вселенной, начиная с воззрений древних египтян, вавилонян и греков, освещает космологические теории Фалеса, Анаксимандра, Парменида и других греческих натурфилософов, знакомит с учением пифагорейцев и идеями Платона. Дрейер подробно описывает теорию концентрических планетных сфер Евдокса и Калиппа и геоцентрическую систему мироздания Птолемея.