Отличная квантовая механика - [26]

⟩, |HV⟩, |VH⟩, |VV⟩}.

Упражнение 2.3. Найдите разложение в каноническом базисе для состояния, в котором Алиса имеет фотон, поляризованный под 30°, а фотон Боба находится в состоянии правой круговой поляризации. Напишите матричное представление для этого состояния. Разделимое оно или запутанное?

Упражнение 2.4. Найдите скалярное произведение ⟨Π|Ω⟩, где:

a) |Π⟩ = 5 |HH⟩ + 6i |R — ⟩ и |Ω⟩ = 2 |+L⟩ + 3 |RR⟩;

b) |Π⟩ = i (2 |H⟩ + i |V⟩) ⊗ |R⟩ и |Ω⟩ = (2i |H⟩ — 3i |V⟩) ⊗ |+⟩.

Упражнение 2.5§. Образуют ли множества

a) {|+ +⟩, |— +⟩, |+ —⟩, |— ⟩},

b) {|RR⟩, |RL⟩, |LR⟩, |LL⟩},

c) {|H — ⟩, |H+⟩, |V — ⟩, |V+⟩},

d) {|H — ⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩},

e) {|H — ⟩, |HH⟩, |VR⟩, |VL⟩}

базисы в двухфотонном гильбертовом пространстве? Ортонормальны ли эти базисы?

Ответ: все пять множеств образуют базисы; все они, кроме последнего, ортонормальны.

Упражнение 2.6. Покажите, что белловские состояния

запутаны.

Упражнение 2.7. Покажите, что эти четыре белловских состояния образуют ортонормальный базис.

Упражнение 2.8. Перепишите белловские состояния (2.5) в диагональном базисе.

Упражнение 2.9. Пусть |θ⟩ — состояние линейной поляризации под углом θ к горизонтали. Покажите, что для любого θ состояние

может быть выражено в виде:

Это означает, что состояние |Ψ^—⟩ изотропно, т. е. остается неизменным вне зависимости от того, какое направление мы определим как горизонтальное (при условии что оно перпендикулярно направлению движения фотонов, разумеется). Этим свойством из всех белловских состояний обладает только |Ψ^—⟩.

2.1.2. Измерения в составных пространствах

Постулат о квантовых измерениях применим к тензорным произведениям гильбертовых пространств в обычном режиме. Базис измерения может состоять как из разделимых, так и из запутанных состояний. Если базис построен в виде тензорного произведения базисов в 𝕍_A и 𝕍_B, как в упр. 2.2, то Алисе и Бобу нужно просто провести измерения в этих базисах в своих гильбертовых пространствах (рис. 2.1).

Отступление 2.1. Как создать запутанное состояние?

Рассмотрим параметрическое рассеяние (отступление 1.6) на последовательности двух нелинейных кристаллов, как показано на рисунке[38]. Кристаллы построены таким образом, что первый из них выдает только пары горизонтально поляризованных фотонов |H⟩ ⊗ |H⟩, а второй — только пары вертикально поляризованных |V⟩ ⊗ |V⟩. Вероятность появления пары мала в обоих кристаллах. Тогда любая пара, если она есть, может находиться либо в состоянии |HH⟩, либо в состоянии |VV⟩. Поскольку расстояние между кристаллами постоянно, постоянна и оптическая фаза между этими двумя парами. Так что состояние двух фотонов, выданных кристаллами, есть

|HH⟩ + e^iϕ|VV⟩.

Выбирая величину ϕ, можно получить любое из белловских состояний |Φ⁺⟩ или |Φ^—⟩. Чтобы превратить эти состояния в |Ψ⁺⟩ или |Ψ^—⟩, достаточно поместить в один из выходных каналов полуволновую пластинку.

Упражнение 2.10. Для двух фотонов, приготовленных в состоянии

найдите вероятность обнаружить состояние:

Считаем, что измерение выполняется в некотором ортонормальном базисе, в который входит интересующее нас состояние.

Упражнение 2.11. Алиса и Боб имеют общее состояние

a) Найдите вероятности всех результатов, если Алиса и Боб измерят |Ψ⟩ в (1) каноническом и (2) диагональном {|+ +⟩, |+ —⟩, |— +⟩, |— ⟩} базисах.

b) Алиса и Боб имеют общую единственную копию одного из белловских состояний, |Ψ^—⟩ или |Ψ⁺⟩, но не знают, какого именно. Могут ли они выяснить это при помощи измерений в каноническом базисе? А в диагональном?

Важный вывод, который мы можем сделать из этого упражнения, состоит в том, что, хотя запутанные состояния могут возникать только при взаимодействии двух физических систем, их измерение (например, с целью отличить одно от другого) не требует не только взаимодействия, но даже проекции на запутанные состояния. Более того, можно провести полную квантовую томографию квантового состояния в составном гильбертовом пространстве при помощи измерений в базисах, содержащих только разделимые состояния. Мы покажем это строго в конце основного текста (упр. 5.78).

Упражнение 2.12*. Предложите процедуру выполнения измерения в базисе {|H— ⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩}.

Подсказка: считайте, что Алиса и Боб связаны классическим каналом связи.

2.1.3. Тензорное произведение операторов

Расширим понятие тензорного произведения на операторы. Это расширение относительно прямолинейно: в операторе

компонент Â действует на гильбертово пространство Алисы, а компонент

— на гильбертово пространство Боба. Приведем формальное определение и выполним несколько упражнений.

Тензорное произведение оператора Â, который действует на 𝕍_A, и оператора

который действует на 𝕍_B, определяется как линейный оператор

на 𝕍_A ⊗ 𝕍_B, такой, что для любого вектора |Ψ⟩ = Σ_i λ_i |a_i⟩ ⊗ |b_i⟩

Упражнение 2.13. Выразите матрицу тензорного произведения оператора

в базисе {|𝑣_i⟩ ⊗ |ω_j⟩} через матрицы операторов

в соответствующих базисах {|𝑣_i⟩} и {|ω_j⟩}.

Ответ: для каждого элемента матрицы[39]

Упражнение 2.14. Найдите математическое ожидание и неопределенность оператора

в состоянии

Упражнение 2.15§. Предположим, что |𝑣⟩ и |ω⟩ — собственные состояния операторов