Отличная квантовая механика - [27]

Упражнение 2.16. Покажите, что для операторов

Упражнение 2.17§. Покажите, что тензорное произведение операторов не может сделать запутанное состояние из разделимого.

Упражнение 2.18. Для двух операторов внешнего произведения

соответственно покажите, что

Понятие о тензорном произведении операторов красиво иллюстрируется таким значительным результатом, как теорема о запрете клонирования (no-cloning theorem)[40]. Предположим, у нас имеется два объекта, представленные идентичными гильбертовыми пространствами 𝕍_A и 𝕍_B, причем объект, представленный 𝕍_A, находится в некотором произвольном квантовом состоянии |a⟩. Квантовое клонирование — гипотетическая операция, которая создавала бы копию |a⟩ в 𝕍_B, сохраняя при этом оригинал в 𝕍_A. Иными словами, она соответствует некоторому оператору на 𝕍_A ⊗ 𝕍_B, такому, что для любого |a⟩ ∈ 𝕍_A и некоторого |0⟩ ∈ 𝕍_B

|a⟩ ⊗ |0⟩ → |a⟩ ⊗ |a⟩. (2.10)

Упражнение 2.19. Покажите, что квантовое клонирование в том виде, как оно определено выше, невозможно.

Подсказка: воспользуйтесь тем фактом, что любая физически возможная эволюция в квантовой механике описывается линейным оператором.

Сопряженное пространство тензорного произведения определяется аналогично тому, как мы определили прямое, т. е. для любого состояния тензорного произведения |a⟩ ⊗ |b⟩[41]

сопр (|a⟩ ⊗ |b⟩) ≡ сопр (|a⟩) ⊗ сопр (|b⟩) ≡ _A⟨a| ⊗_B⟨b| ≡ ⟨ab|. (2.11)

Упражнение 2.20. Покажите, что для

Упражнение 2.21. Покажите, что:

a) тензорное произведение двух эрмитовых операторов эрмитово;

b) тензорное произведение двух унитарных операторов унитарно.

2.1.4. Локальные операторы

Операторы тензорного произведения вида

называются локальными операторами, потому что действуют только на один компонент гильбертовых пространств. Примером может служить волновая пластинка, которая располагается на пути фотона Алисы и поворачивает его поляризацию, оставляя при этом фотон Боба нетронутым. Локальные операторы часто записываются в упрощенной нотации: пишут просто Â вместо

и

вместо

Упражнение 2.22. Покажите, что локальный унитарный оператор не может сделать разделимое состояние запутанным, и наоборот.

Упражнение 2.23. Предположим, что |a⟩ — собственное состояние оператора Â на гильбертовом пространстве Алисы с собственным значением a. Покажите, что для любого вектора |b⟩ в гильбертовом пространстве Боба вектор |ab⟩ есть собственное состояние локального оператора

с тем же собственным значением.

Упражнение 2.24. Пусть

— наблюдаемые в пространствах Алисы и Боба соответственно. Двусоставное состояние |Ψ⟩ является собственным состоянием

с собственным значением x, но не является собственным состоянием локальных операторов

a) Приведите пример такой ситуации.

b) Покажите, что всякий раз, когда Алиса измеряет Â, а Боб —

в состоянии |Ψ⟩, произведение полученных ими величин равно x.

Подсказка: воспользуйтесь упр. A.66.

Упражнение 2.25. Предположим, Алиса и Боб располагают белловским состоянием |Ψ^—⟩. Алиса производит локально над своим кубитом операцию, соответствующую одному из трех операторов Паули. Покажите, что:

Данный результат имеет интересное приложение в квантовом протоколе связи, известном как квантовое сверхплотное кодирование (quantum superdense coding, см. отступление 2.2).

Отступление 2.2. Граница Холево и квантовое сверхплотное кодирование

Предположим, что Алиса и Боб связаны неким каналом связи (например, оптоволоконным). Алиса хочет послать Бобу классическое сообщение из n бит, зашифровав информацию в некотором наборе квантовых частиц, каждая из которых несет в себе кубит[42]. Сможет ли она достичь своей цели, использовав меньше, чем n квантовых частиц?

Простое рассуждение показывает, что на этот вопрос следует ответить отрицательно. В самом деле, n кубитов соответствуют 2ⁿ-мерной квантовой системе (упр. 2.2). Как бы Алиса ни кодировала свои биты в кубитах, Боб при измерении этой системы сможет получить не более 2ⁿ возможных результатов, так что полное количество различных сообщений, которые можно зашифровать в n кубитов, равно 2ⁿ. Емкость n бит классической информации точно такая же. Это ограничение — пример так называемой границы Холево в квантовой информатике.

Однако если у Алиса и Боба есть заранее приготовленные общие запутанные кубиты, то границу Холево можно обойти при помощи протокола, известного как квантовое сверхплотное кодирование. Предположим, Алиса хочет послать Бобу два бита классической информации. Протокол тогда выглядит следующим образом:

• Алиса и Боб заранее готовят общее состояние |Ψ ^— ⟩ из двух кубитов (к примеру, фотонов).

• В зависимости от значения своих двух битов Алиса производит над своим кубитом операцию

превращая таким образом общее запутанное состояние в одно из четырех белловских состояний, как в упр. 2.25. Реализовать это можно при помощи волновых пластинок (см. упр. 1.26).

• Алиса отправляет свой кубит Бобу.

• Теперь у Боба два кубита. Он измеряет их в базисе Белла и получает одно из четырех состояний, что соответствует двум классическим битам.

Таким способом Алиса может передать два бита классической информации, переслав всего один кубит.