Отличная квантовая механика - [28]
Таким способом Алиса может передать два бита классической информации, переслав всего один кубит.
Упражнение 2.26. Предположим, что гамильтониан в 𝕍>A ⊗ 𝕍>B задается суммой
Ĥ = Ĥ>A+ Ĥ>B
гамильтонианов, которые представляют собой локальные операторы в своих пространствах-компонентах. Покажите, что:
a) если начальное состояние в 𝕍>A ⊗ 𝕍>B есть тензорное произведение
|ψ (0)⟩ = |ψ>A (0)⟩ ⊗ |ψ>B (0)⟩,
то в ходе шрёдингеровой эволюции это состояние остается тензорным произведением
|ψ (t)⟩ = |ψ>A (t)⟩ ⊗ |ψ>B (t)⟩,
где каждое |ψ>A,B (t)⟩ есть решение уравнения Шрёдингера для соответствующего гамильтониана Ĥ>A,B;
b) если некоторые |ψ>A⟩ и |ψ>B⟩ являются собственными состояниями своих гамильтонианов с энергиями E>A и E>B соответственно, то состояние |Ψ⟩ = |ψ>A⟩ ⊗ |ψ>B⟩ в 𝕍>A ⊗ 𝕍>B есть собственное состояние полного гамильтониана Ĥ с энергией E = E>A+ E>B;
c) >* любое собственное состояние гамильтониана, соответствующего энергии E, может быть записано как линейная комбинация произведений вида |ψ>A⟩ ⊗ |ψ>B⟩, где |ψ>A,B⟩ — собственные состояния гамильтониана для отдельных гильбертовых пространств, Ĥ>A,B |ψ>A,B⟩ = E>A,B |ψ>A,B⟩, с E = E>A + E>B.
2.2. Локальные измерения запутанных состояний
Как мы видели в последнем упражнении, расширение постулата об измерениях на двусоставные системы достаточно прямолинейно, если два наблюдателя производят измерения на своих гильбертовых пространствах одновременно. Однако, поскольку эти два наблюдателя независимы, может оказаться, что только один из них (например, Алиса) производит измерение, тогда как другой (Боб) этого не делает. Мы называем это локальным измерением.
Предположим, что Алиса измеряет состояние
Такая корреляция сама по себе не так уж удивительна. Даже в обычной жизни мы можем представить себе игру, в которой Алисе дается одна туфля из пары, а Бобу — вторая. Каждая туфля упакована в непрозрачную коробку, так что их «ориентацию» увидеть нельзя. Затем Алиса летит к Венере, а Боб — к Марсу, где они открывают свои коробки. Предположим, Алиса обнаруживает в своей коробке левую туфлю. При этом она мгновенно узнает, что у Боба в коробке лежит правая туфля, хотя того при этом отделяют от нее миллионы километров.
Но свойства квантовых суперпозиций идут дальше этой простой картины. Помимо поляризационных корреляций в них существует определенное фазовое соотношение (когерентность), которое обозначается знаком «минус» между |HV⟩ и |VH⟩. Этим состояние
Упражнение 2.27. Предположим, что Алиса и Боб располагают состоянием |Ψ>—⟩. Алиса измеряет свою часть состояния в базисе {|θ, |π/2 + θ⟩}. Покажите, что:
a) если Алиса обнаруживает |θ⟩, то состояние Боба становится |π/2 +θ⟩;
b) если Алиса обнаруживает |π/2 +θ⟩, то состояние Боба становится |θ⟩;
c) каждый из этих результатов наблюдается с вероятностью 1/2.
Подсказка: используйте свойство изотропности состояния |Ψ>—⟩ (упр. 2.9).
Это поистине замечательный результат. Выбрав угол наклона базиса измерения q, Алиса может удаленно приготовить произвольное состояние линейной поляризации (с точностью до ±90º) в локации Боба. Так происходит несмотря на то, что Алиса и Боб находятся, возможно, в миллионах километров друг от друга и не имеют возможности общаться между собой. Более того, все происходит мгновенно, т. е. быстрее скорости света!
На первый взгляд, такое удаленное приготовление состояния (remote state preparation) откровенно противоречит специальной теории относительности и, мало того, принципу причинности (causality), который правит всей известной нам физикой и следует из самого что ни на есть фундаментального здравого смысла. Как можно менять что-то мгновенно на огромном расстоянии от себя, да еще при отсутствии какой-либо возможности взаимодействовать с той локацией?
Наверное, каждый прилежный студент-физик в этот момент первым делом спросит, был ли данный вывод проверен экспериментально. Ответ положительный. Чтобы провести этот эксперимент, исследователь многократно подготавливает состояние |Ψ>—⟩ и проводит измерение Алисы, все время в одном и том же базисе. Каждый раз, когда Алиса обнаруживает, скажем, |θ⟩, экспериментатор измеряет поляризацию фотона Боба. По статистике этих измерений он может восстановить искомое состояние при помощи квантовой томографии (см. упр. 1.15) со сколь угодно высокой точностью.
За последнюю четверть века физики исследовали самые разные варианты эффекта удаленного приготовления состояния. Некоторые из экспериментов были организованы так, что лаборатории Алисы и Боба разделялись несколькими километрами, а измерения происходили гарантированно в пределах пространственноподобного интервала, чтобы исключить даже теоретическую возможность для Алисы повлиять на состояние Боба посредством каких бы то ни было известных в природе взаимодействий. Все эти эксперименты недвусмысленно подтверждают верность квантовых предсказаний.
