Отличная квантовая механика [заметки]

Шрифт

Интервал

Подробнее об этом лозунге, ошибочно приписываемом Фейнману, см. в разд. 2.4.

Во втором томе русского издания. — Прим. ред.

Общепринятых постулатов квантовой механики не существует. Если вы скажете «Это следует из второго закона Ньютона», вас поймут, но утверждения «Это следует из первого постулата квантовой механики» никто не поймет. Вместо этого следует сказать, к примеру, «Это следует из линейности квантового гильбертова пространства».

Как в геометрии, которая представляет собой чрезвычайно строгую науку, несмотря на то что первичные понятия в ней, такие как точка, прямая и плоскость, не определены.

Это состояние иногда называют кошкой Шрёдингера в честь одного из отцов-основателей квантовой физики Эрвина Шрёдингера. На самом деле Шрёдингер говорил о более сложном объекте, см. отступление 2.5.

Если вы не знакомы с понятием поляризации электромагнитной волны, то теперь самое время прочесть первые два раздела приложения В.

Может показаться удивительным, что уравнение (1.2) не несет никакой информации о координате фотона по оси z. Причина в том, что этот фотон, будучи квантовой частицей, размазан в пространстве и времени. К факторам, влияющим на степень размазанности, относятся, в частности, характеристики источника, а также «объем квантования», выбранный для теоретического анализа. В случае лазерного луча длина фотона ограничивается длиной когерентности лазера, которая может составлять не один километр. В данной книге мы, как правило, будем считать, что фотоны размазаны на расстояние, намного превышающее размер любого прибора, и потому могут рассматриваться как бесконечно большие.

M. Planck, Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum, Annalen der Physik 4, 553 (1901).

A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik 17, 132 (1905).

Это явление выражается, в частности, в эффекте давления света, который экспериментально наблюдал Петр Лебедев в 1900 г.

Выражение для импульса фотона можно получить также следующим образом. Воспользовавшись знаменитым уравнением Эйнштейна E = mc^>2 и формулой Планка, мы можем рассчитать массу фотона M = ℏω/c^>2. Фотон движется со скоростью света, следовательно, его импульс равен p = Mc = ℏω/c.

A. H. Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements, Physical Review 21 483 (1923).

G. N. Lewis, The conservation of photons, Nature 118, 874 (1926).

Обсуждение договоренностей, принятых для состояний с круговой (циркулярной), поляризацией, см. в сноске 141.

«Мысленный эксперимент» (нем.).

Сейчас подходящий момент, чтобы прочитать в приложении разд. В.3.

Такие смешанные состояния не являются элементами квантового гильбертова пространства. Подробнее об этом см. подразд. 2.2.4.

Хотя мы не знаем, каково это состояние, мы можем многократно приготавливать фотон в одном и том же состоянии путем сохранения постоянных условий эксперимента.

Конкретнее, интерферометр Маха — Цендера.

Считаем, что линия задержки много короче, чем длина светового импульса, так что изменение задержки не влияет на видность интерференции.

Позже мы увидим, что на самом деле фотон может расщепиться на два фотона с меньшей энергией при нелинейном оптическом явлении, известном как параметрическое рассеяние. Однако этот довольно экзотический эффект возникает с низкой вероятностью и только в особых условиях. Наш интерферометр не содержит нелинейных оптических элементов, так что параметрическое рассеяние здесь ни при чем.

Именно поэтому, вероятно, популярные книги по квантовой механике любят описывать состояния суперпозиции как состояния, в которых «объект находится в двух разных местах в одно и то же время».

«Который путь» (нем.).

A. C. Elitzur, L. Vaidman, Quantum mechanical interaction-free measurements, Foundations of Physics 23, 987 (1993).

C. H. Bennett, G. Brassard, «Quantum Cryptography: Public Key Distribution and Coin Tossing», Int. Conf. on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India (IEEE, New York, 1984), p. 175.

P. W. Shor and J. Preskill, Simple Proof of Security of the BB84 Quantum Key Distribution Protocol, Physical Review Letters 85, 441 (2000).

На самом деле частота темновых срабатываний может быть выше. Но, поскольку Боб знает точные моменты передачи фотонов Алисой, на частоту ошибки будут влиять только те темновые события, которые произойдут синхронно с щелчками, ожидаемыми от фотонов Алисы.

Более полное введение в линейные операторы и матрицы можно найти в разд. A.5 и A.6.

Значение индексов x, y и z прояснится в главе 4, когда мы будем изучать квантование момента импульса.

Важное исключение здесь — случай, когда матрица имеет вырожденные собственные величины. В этом случае решение для собственного базиса не единственно. Пример см. в упр. A.68.

Чтобы узнать о коммутаторах, загляните в разд. A.9.

Это не означает, однако, что любое собственное состояние наблюдаемого Â даст определенный результат при измерении

Если у Â есть вырожденные собственные величины, его собственный базис не является единственным (см. разд. A.8), так что не каждый собственный вектор оператора Â гарантированно является также собственным вектором

состояние |+⟩ является собственным состоянием Â, но не

так что наблюдаемое

при измерении в этом состоянии будет проявлять неопределенность, несмотря на то что

Даже если

не коммутируют, это не означает, что измерение наблюдаемого

в собственном состоянии наблюдаемого Â всегда дает случайный результат.

О функциях операторов см. разд. A.11.

В данном случае общая фаза в правой части уравнения (1.35) имеет значение. Дело в том, что нас интересует не только преобразование самого состояния |+⟩, но и вся линейная операция, определенная этим преобразованием. Чтобы увидеть действие этой общей фазы, вы можете попытаться решить часть a), заменив (1.35) на |+⟩ → |+⟩.

Это, конечно, фигура речи. Фотоны движутся со скоростью света, и никто не может «иметь» их на протяжении сколько-нибудь продолжительного периода времени. Утверждения о том, что у Алисы и Боба «имеется» фотон, относятся, как правило, к моменту времени непосредственно перед измерением.

Три эквивалентные части соотношения (2.1) представляют собой альтернативные варианты записи для состояний, представляющих собой тензорные произведения; мы будем считать эти варианты взаимозаменяемыми и использовать попеременно. Обратите внимание: индекс A (Алиса) или B (Боб), отмечающий принадлежность гильбертова пространства, помещается снаружи от кет-скобки. Если эти индексы опущены, то считается, что первый компонент тензорного произведения всегда относится к Алисе, а второй — к Бобу.

В первый раз эта схема была предложена и реализована в: P. G. Kwiat, E. Waks, A. G. White, I. Appelbaum, and P. H. Eberhard, Ultrabright source of polarization-entangled photons, Physical Review A 60, R773 (R) (1999).

Как правило, мы будем использовать интуитивно понятные двухиндексные обозначения для матриц состояний и операторов в составных гильбертовых пространствах. То есть каждый элемент |𝑣i⟩ ⊗ |ωj⟩ базиса тензорного произведения идентифицируется парой индексов (i, j), как в (2.8). Это означает, в частности, что матрица оператора имеет четыре, а не два, индекса.

W. Wootters, W. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299, 802 (1982); D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A 92, 271 (1982).

Порядок символов внутри бра-вектора такой же, как и внутри кет-вектора: первый символ относится к Алисе, второй — к Бобу. Индексы A и B, указывающие на конкретные гильбертовы пространства, если они есть, обычно помещаются слева от бра-векторов.

Напоминание: кубит есть любое двумерное гильбертово пространство. Примером кубита может служить поляризация фотона.

Возможно, кому-то захочется ответить, что когда фотон Алисы пропадает из состояния, к примеру,

то фотон Боба приобретает состояние

Это, разумеется, неверно. Чтобы убедиться в этом, вспомните упр. 2.9, где мы выяснили, что |Ψ^>—⟩ можно также записать, как (|+ —⟩ — |— +⟩)/2. Это означает, что фотон Боба с равной вероятностью может находиться в состояниях |+⟩ и |—⟩.

Тот факт, что ансамбли Боба, полученные для двух измерительных базисов Алисы, идентичны, мы покажем строго в упр. 5.40.

A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? Physical Review 47, 777 (1935).

D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1951.

Фок В. А., Эйнштейн А., Подольский Б. и др. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? // Успехи физических наук. Т. XVI. Вып. 4 (1936). С. 440. — Прим. ред.

Там же. С. 446. — Прим. ред.

J. S. Bell, On the Einstein — Poldolsky — Rosen paradox, Physics 1, 195 (1964).

S. J. Freedman and J. F. Clauser, Experimental test of local hidden-variable theories, Physical Review Letters 28, 938 (1972).

A. Aspect, P. Grangier, G. Roger, Experimental Realization of Einstein — Podolsky — Rosen — Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell’s Inequalities, Physical Review Letters 49, 91 (1982).

G. Weihs, T. Jennewein, C. Simon, H. Weinfurter, A. Zeilinger, Violation of Bell’s inequality under strict Einstein locality conditions, Physical Review Letters 81, 5039 (1998).

M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland, Experimental violation of a Bell’s inequality with efficient detection, Nature 409, 791 (2001).

B. Hensen et al., Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres, Nature 526, 682 (2015).

M. Guistina et al. Significant-loophole-free test of Bell’s theorem with entangled photons, Physical Review Letters 115, 250401 (2015).

L. K. Shalm et al. A strong loophole-free test of local realism, Physical Review Letters 115, 250402 (2015).

Конечно, можно настроить электронику таким образом, что при отсутствии сигнала в обоих детекторах экран случайным образом покажет величину ±1. При такой программе эксперимент будет соответствовать рис. 2.2, но проблему это не решит (см. упр. 2.52).

Теоретическая идея: D. M. Greenberger, M. A. Horne, A. Shimony, A. Zeilinger, in Bell’s Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe (M. Kafatos, ed.), p. 73 (Kluwer Academic, Dordrecht, 1989). Эксперимент: J. W. Pan, D. Bouwmeester, M. Daniell, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental test of quantum nonlocality in three-photon GHZ entanglement, Nature 403, 515 (2000).

Этот стандартный подход к квантовым измерениям называют копенгагенской интерпретацией в честь Нильса Бора.

Может показаться, что (2.33) эквивалентно квантовому клонированию (подразд. 2.1.3), потому что для каждого элемента базиса системы прибор эволюционирует в соответствующий элемент базиса своего гильбертова пространства. На самом деле это не так. Настоящая операция клонирования клонировала бы также и состояния суперпозиции, т. е. переводила бы правую сторону уравнения (2.33) в вид

Преобразование (2.33) этого не делает и, следовательно, не противоречит теореме о запрете клонирования.

Для удобства будем предполагать, что фотон не уничтожается в ходе обнаружения, и не будем учитывать тот факт, что горизонтальные и вертикальные фотоны следуют по разным пространственным траекториям.

Эта процедура известна как мысленный эксперимент Юджина Вигнера, который поставил себя на позицию Боба, а своего гипотетического друга — на позицию Алисы.

Такой «инструментальный» подход особенно привлекал Ричарда Фейнмана, взгляды которого хорошо отражает выдуманный лозунг «Заткнись и считай» («Shut up and calculate»).

О точном виде собственного состояния импульса речь пойдет в следующей главе; пока же достаточно (2.35).

W. H. Zurek, Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical, Reviews of Modern Physics 75, 715 (2003).

Такие столкновения называются упругими.

E. Schrödinger, Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik, Naturwissenschaften 23, 807–812, 823–828, 844–849 (1935).

Состояние фотона я опустил для краткости.

Этот вывод сделан на основе статей W. H. Zurek, Environment-Assisted Invariance, Entanglement, and Probabilities in Quantum Physics, Physical Review Letters 90, 120404 (2003); Probabilities from entanglement, Born’s rule from invariance, Physical Review A 71, 052105 (2005).

Обратите внимание: выходное значение целевого кубита соответствует результату действия вентиля «исключающее ИЛИ» (XOR).

Теоретическая идея о квантовой телепортации впервые была опубликована в C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres, W. K. Wootters, Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein — Podolsky — Rosen Channels, Physical Review Letters 70, 1895–1899 (1993). Первые эксперименты (устроенные по-разному) были проведены почти одновременно несколькими группами: D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, A. Zeilinger, Experimental Quantum Teleportation, Nature 390, 6660, 575–579 (1997); D. Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy, S. Popescu, Experimental Realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual classical and Einstein — Podolsky — Rosen channels, Physical Review Letters 80, 1121–1125 (1998); A. Furusawa, J. L. Sorensen, S. L. Braunstein, C. A. Fuchs, H. J. Kimble, E. S. Polzik, Unconditional quantum teleportation, Science 282, 706–709 (1998).

Теоретическая идея: M. Żukowski, A. Zeilinger, M. A. Horne, and A. K. Ekert, «Event-ready detectors»: Bell experiment via entanglement swapping, Physical Review Letters 71, 4287 (1993). Эксперимент: J.-W. Pan, D. Bouwmeester, H. Weinfurter, and A. Zeilinger, Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted, Physical Review Letters 80, 3891 (1998).

A. I. Lvovsky, B. C. Sanders, and W. Tittel, Optical Quantum Memory, Nature Photonics 3, 706–714 (2009); N. Sangouard, C. Simon, H. De Riedmatten, and N. Gisin, Quantum repeaters based on atomic ensembles and linear optics, Reviews of Modern Physics 83, 3380 (2011).

Если вы не знакомы с дельта-функцией Дирака и преобразованием Фурье, то, прежде чем продолжить, просмотрите, пожалуйста, разделы Г.1 и Г.2 в соответствующем приложении.

Почему континуум координатных собственных состояний порождает гильбертово пространство бесконечной размерности, тогда как континуум линейно поляризованных состояний — всего лишь двумерное гильбертово пространство? Если не помните ответа, загляните в разд. 1.3.

Для более строгого рассмотрения этого вопроса вводится специальная конструкция, разработанная И. М. Гельфандом и Н. Я. Виленкиным и именуемая оснащенным гильбертовым пространством (rigged Hilbert space). Подробности в: R. de la Madrid, The role of the rigged Hilbert space in quantum mechanics, European Journal of Physics 26, 287 (2005).

На самом деле оригинальная формулировка Гейзенберга была немного иной (см. отступление 3.3).

Решение можно найти, к примеру, в: Ulf Leonhardt, Measuring the quantum state of light (Cambridge University Press, 1997).

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik 43, 172 (1927).

Гейзенберг В. О наглядном содержании квантовотеоретической кинематики и механики // Успехи физических наук. Т. 122. Вып. 8 (1977). С. 654. — Прим. ред.

Пример предоставлен А. В. Белинским и В. Б. Лапшиным.

На самом деле фазовая скорость волны де Бройля — вопрос скорее договоренности, чем физики. Предположим, мы сдвигаем точку начала отсчета потенциальной энергии на — V_>0, так что частица теперь имеет постоянный потенциал V(x) = V_>0. То же физическое состояние, что и в (3.56), теперь будет обладать энергией E + V_>0, так что его волновая функция приобретет следующую зависимость от времени:

Пространственное поведение этой волновой функции такое же, как в (3.56), потому что оно определяется импульсом, а последний связан с кинетической энергией, которая не изменилась. Но эволюция во времени будет зависеть от V_>0, поскольку частота волны теперь равняется (E + V_>0)/ℏ, а не E/ℏ. Таким образом, фазовая скорость тоже будет зависеть от V0.

Групповая же скорость пропорциональна производной энергии и потому не зависит от выбора точки отсчета потенциала.

J. P. Gordon, H. J. Zeiger, and C. H. Townes, Molecular Microwave Oscillator and New Hyperfine Structure in the Microwave Spectrum of NH3, Physical Review 95, 282 (1954); J. P. Gordon, H. J. Zeiger, and C. H. Townes, The Maser — New Type of Microwave Amplifier, Frequency Standard, and Spectrometer, Physical Review 99, 1264 (1955).

Подчеркну разницу между векторами |0⟩ и |zero⟩ (см. определение A.1). Вектор |zero⟩ есть нулевой вектор гильбертова пространства, такой что для любого вектора |ψ⟩ мы имеем |ψ⟩ + |zero⟩ = |ψ⟩. Его норма равна ⟨zero|zero⟩ = 0, поэтому данный вектор не представляет никакого физического квантового состояния. Вакуумное состояние |0⟩, напротив, есть физическое состояние: ⟨0|0⟩ = 1 и |ψ⟩ + |0⟩ ≠ |ψ⟩.

Эти утверждения верны в некоторых пределах, поскольку физические модели гармонического осциллятора или двухуровневой системы могут не выдержать слишком сильного возбуждения. Так случается, к примеру, если качели взлетают слишком высоко, они выходят за рамки приближения маятника с ее допущением о малости угла. А электрическое поле в импульсе лазера может быть настолько мощным, что атом ионизуется.

На самом деле эта окружность имеет не только символическое значение. Поведение неопределенностей в фазовом пространстве описывается так называемой функцией Вигнера, которая является аналогом классической плотности вероятности в фазовом пространстве.

В данном разделе мы считаем, что гамильтониан явно не зависит от времени.

Мы ограничиваемся одномерным движением.

Тот факт, что гамильтониан, если он не зависит явно от времени, в представлении Гейзенберга не эволюционирует, можно рассматривать как квантовый аналог классического закона сохранения энергии.

Обратите внимание, что смещение на положительную величину X_>0 соответствует отрицательному изменению аргумента волновой функции. Подробнее об этом в подразд. 3.9.3.

Преобразование операторов осциллятора, заданное уравнениями (3.173), (3.174) или (3.180), (3.181), называется преобразованием Боголюбова.

Во всех последующих задачах используйте перемасштабированные наблюдаемые координаты и импульса, т. е.

Данное состояние иногда называют «кошкой Шрёдингера», хотя оно и не полностью соответствует оригинальному мысленному эксперименту Шрёдингера с запутанностью между микроскопическим и макроскопическим объектом. Тем не менее это суперпозиция двух «классических» и потенциально макроскопических когерентных состояний, поэтому оно в высшей степени неклассично. Построение таких состояний со все бóльшими амплитудами α может помочь нам определить пределы применимости квантовой физики — см. подразд. 2.4.3. Поэтому они являются предметом активного изучения.

Чтобы избежать путаницы, мы не будем в этой главе использовать термин «вектор» в смысле «элемент гильбертова пространства». Будем применять его только для обозначения наблюдаемых, имеющих x-, y- и z-компоненты.

Иногда мы будем пользоваться альтернативной системой записи, имеющей такой вид:

Символ Леви-Чивиты, известный также как антисимметричный единичный тензор третьего ранга, определяется следующим образом:

Для любых j, k, l значение εjkl меняет знак, как только любые два индекса меняются местами. Следовательно, всякий раз, когда любые два индекса равны, εjkl = 0.

ε_>123 ≡ εxyz = 1.

В явном виде:

ε_>xyz = 1,ε_>xzy = −1,ε_>zxy = 1,ε_>zyx = −1,ε_>yzx = 1,ε_>yxz = −1, (4.18)

все остальные εjkl = 0.

Как говорилось в разд. 3.3.1 (см. также разд. A.2), символ «≃» означает, что уравнение (4.20) применимо к волновым функциям исключительно в координатном базисе. В полном виде уравнение (4.20) выглядело бы так:

и т. д.

Это независимо от того факта, что собственные состояния

вырождены даже в 𝕐, как мы увидим в следующем разделе.

Этот подход — частный случай метода разделения переменных для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

100

С тем же успехом мы могли бы выбрать

Несколько примеров такого рода мы увидим позже в этом разделе.

101

Обозначение |λμ⟩ может ошибочно навести на мысль, что данное состояние представляет собой тензорное произведение. Конечно, это не так: |λμ⟩ есть элемент единственного гильбертова пространства 𝕐.

102

Иногда орбитальное квантовое число l называют просто «момент импульса». Этот термин используется в профессиональном жаргоне, чтобы подчеркнуть, что значение ℏl есть квантовый эквивалент классического абсолютного значения вектора момента импульса.

103

Стандартное определение сферических гармоник использует связанные полиномы Лежандра. Однако в нашем определении, позаимствованном из книги R. Shankar. Principles of quantum mechanics (Kluwer, 1990), эти полиномы не задействованы, поэтому оно менее громоздко. Этот вид определения соответствует договоренности, которая чаще всего используется в квантовой механике.

104

Множитель (–1)l в уравнение (4.40) добавляется по соглашению.

105

В применении к спину вместо l обычно используется символ s. Символ l зарезервирован для обозначения орбитального момента импульса.

106

Энергии отрицательны, как и ожидалось для связанных состояний.

107

E. Rutherford, The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom, Philosophical Magazine 21, 669 (1911).

108

N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, Philosophical Magazine 26, 1–24 and 476–502 (1913).

109

Первоначальная формулировка Менделеева гласила, что периодическая зависимость наблюдается от атомного веса элемента, поскольку в то время атомное ядро еще не было открыто.

110

Магнитное же квантовое число m не влияет на энергию даже в многоэлектронных атомах.

111

Мы используем символ

а не

чтобы подчеркнуть, что подпространство l = 2 может соответствовать только спиновой степени свободы.

112

Изоморфизм 𝑓(⋅) между линейными пространствами 𝕍 и 𝕎 есть взаимно однозначное отображение |a⟩ ∈ 𝕍 ↦ 𝑓(|a⟩) ∈ 𝕎, такое что для любых |a⟩, |b⟩ ∈ 𝕍 и числа λ

𝑓(|a⟩ + |b⟩) = 𝑓(|a⟩) + 𝑓(|b⟩); (4.63)

𝑓(λ|a⟩) = λ𝑓(|a⟩).

Обратите внимание на разницу между изоморфизмом и линейным оператором (определение A.15). Линейный оператор есть отображение в пределах единого линейного пространства, тогда как изоморфизм может связывать два разных линейных пространства. Кроме того, линейный оператор не обязан быть взаимно однозначным отображением.

113

Определение гиромагнитного отношения см. в Отступлении 4.4.

114

W. Gerlach and O. Stern, Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld, Zeitschrift für Physik 9, 349–352 (1922); W. Gerlach and O. Stern, Das magnetische Moment des Silberatoms, Zeitschrift für Physik 9, 353–355 (1922); W. Gerlach and O. Stern, Der experimentelle Nachweis des magnetischen Moments des Silberatoms, Zeitschrift für Physik 8, 110–111 (1922).

115

В этом разделе мы будем использовать для обозначения частоты Лармора символ Ω_>0, а не Ω_>L.

116

Это магнитное поле обычно называют радиочастотным (rf, radio-frequency), потому что ω, как правило, лежит в диапазоне, где осуществляются радио- и телетрансляции. Поле B_>0 называют постоянным (dc, direct current) полем.

117

Блоховский вектор в новом базисе получается подстановкой

в (4.62) вместо

118

В действительности уравнение (4.85) корректно представляет гамильтониан системы в так называемом представлении взаимодействий, которое мы здесь не изучаем.

119

Населенность квантового состояния есть полное число частиц в этом состоянии. В нашем случае населенности состояний со спинами, ориентированными вверх и вниз, равны, соответственно, n pr_>↑ и n pr_>↓, где n — полное число электронов в образце.

120

Обсуждение близкой темы см. в подразд. 3.8.2.

121

Отсылка к тому, что интеграл представляет собой «площадь под кривой».

122

Импульс площадью π соответствует логической операции НЕ над спиновым кубитом: он преобразует |0⟩ = |↑⟩ в |1⟩ = |↓⟩, и наоборот.

123

Математическое представление, связанное с оператором плотности, предложили независимо друг от друга Джон фон Нейман и Лев Ландау в 1927 г. Термины «матрица плотности» и «оператор плотности» традиционно взаимозаменяемы.

124

Обратите внимание, что существование спектрального разложения (5.4) не следует тривиальным образом из определения матрицы плотности (5.1). Два данных выражения очень похожи, но элементы суммы в (5.4) составляют ортонормальный базис, тогда как в (5.1) это просто произвольные состояния.

125

Это верно в случае и стационарного, и вращающегося базиса, поскольку оба они состоят из собственных состояний

126

Как говорилось в разд. 3.8, квантовое описание моды электромагнитного поля эквивалентно описанию гармонического осциллятора.

127

К примеру, см.: Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: Наука, 1980.

128

См. описание эксперимента в: A. G. White, D. F. V. James, W. J. Munro, and P. G. Kwiat, Exploring Hilbert space: Accurate characterization of quantum information, Physical Review A 65, 012301 (2001).

129

Конечно, если квантовый процесс описывается оператором, тот должен быть не просто линейным, но также унитарным (см. разд. 1.10). Однако для данного упражнения этот факт не существенен.

130

На самом деле достаточно, чтобы набор

был остовным; ему не обязательно быть линейно независимым.

131

При n ≠ m это всего лишь формальные математические объекты, которые не соответствуют никаким физическим состояниям. Однако они удобны для тренировки интуиции.

132

Поле — это понятие из алгебры, обозначающее полное множество некоторых чисел. Примерами полей могут служить множества рациональных (ℚ), действительных (ℝ) и комплексных (ℂ) чисел. Квантовая механика обычно имеет дело с векторными пространствами над полем комплексных чисел.

133

Обратите внимание: в качестве альтернативной нотации для |zero⟩ мы иногда используем просто 0, но никогда не |0⟩.

134

То есть такая, в которой по крайней мере один из коэффициентов не равен нулю.

135

Мы используем символ ≃ вместо =, когда выражаем векторы и операторы в матричной форме, как в (A.2). Делается это для того, чтобы подчеркнуть разницу: левая часть (вектор) представляет собой абстрактный объект и не зависит от базиса, тогда как правая часть — это набор чисел, зависящий от выбора базиса {|𝑣i⟩}. Однако в литературе, как правило, для простоты используется знак равенства.

136

Отображение — это функция, которая устанавливает для каждого элемента |a⟩ в 𝕍 уникальный «образ» Â|a⟩.

137

ℂ^>2 есть линейное пространство столбцов

содержащих по два комплексных числа.

138

Это упрощенный вид формулы Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла. Полный вид этой формулы более сложен и выполняется в том числе для случая, когда

не коммутирует с

139

На протяжении всей книги я использую нижние индексы для обозначения дискретных вероятностей, таких как pri или

и скобки для обозначения непрерывных плотностей вероятности, к примеру pr(Q).

140

Строгая формулировка этого утверждения называется центральной предельной теоремой.

141

Определение того, какая из круговых поляризационных схем должна называться «левой», а какая «правой», — вопрос соглашения. Здесь мы следуем соглашению, принятому в квантовой оптике. В право-циркулярной схеме конец вектора электрического поля вращается по часовой стрелке, если смотреть «сзади» относительно волны (от источника). Однако вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть «спереди», или в плоскости x-y с традиционной ориентацией осей. В пространстве эта траектория имеет вид левого винта.

142

Гладкой называется функция, имеющая производные всех конечных порядков.

143

Не существует общепринятой договоренности ни о том, где ставить минус в показателе комплексной экспоненты — в уравнении (Г.10) или (Г.21), ни о том, как распределить между ними множитель 1/2π. Для этой книги я выбрал договоренность по своему собственному вкусу.

144

Реальная скорость передачи секретного ключа несколько ниже из-за «наценки», связанной с усилением секретности.

145

Здесь мы пренебрегаем относительным сдвигом фазы, который PBS налагает на пары вертикальных и горизонтальных фотонов.

146

Строго говоря, решение для φ не определено, если либо ψ↑, либо ψ↓ обнуляется. Тем не менее эти случаи соответствуют уникальным блоховским векторам, указывающим на северный и южный полюса блоховской сферы соответственно.

147

В этих рассуждениях мы пренебрегаем соглашением о том, что полярный угол θ должен находиться в интервале от 0 до π. Если мы хотим учитывать это соглашение, нам следует переопределить полярные углы следующим образом. Обозначим θ′ = 4α mod π. Тогда

При 0 ≤ θ′ ≤ π это состояние соответствует блоховскому вектору с θ = θ′, φ = 0. При π < θ′ < 2π мы можем записать

что соответствует блоховскому вектору с θ = 2π — θ′, φ = π. В обоих случаях θ ∈ [0, π].

Этот более строгий подход дает нам то же самое геометрическое место на сфере Блоха, что и приведенный выше упрощенный.

148

Это соответствует географической широте π/2 — θ.

149

Обратите внимание на знак: фиктивное поле

направлено вдоль отрицательной оси z при положительном Δ. Это означает, что при положительном Δ полярный угол вектора Блоха увеличивается со временем. Все происходит наоборот по отношению к упр. 4.62, a), где поле направлено вдоль положительного направления оси z, а полярный угол вектора Блоха со временем уменьшается.

150

Конечно, эти векторы представляют собой просто наборы чисел, а не квантовые состояния.

151

Логарифм и квадратный корень — примеры многозначных функций, весьма распространенных в комплексном анализе.