Отличная квантовая механика - [25]

₀.

a) Найдите матрицу этого гамильтониана в каноническом базисе.

b) Убедитесь, что эволюция за время t₀/2 породит оператор четвертьволновой пластинки (1.5b).

c) Для гамильтониана, найденного в пункте a), и α = 30º решите дифференциальное уравнение Шрёдингера (1.31) для начального состояния |H⟩. Согласуется ли результат для t = t₀ с тем, что можно было бы ожидать от физики преобразования поляризации?

Задача 1.17. Квантовая система может быть обнаружена в одном из трех ортогональных состояний |a⟩, |b⟩, |c⟩. Эти три состояния образуют ортонормальный базис.  представляет собой оператор, который циклически переставляет эти состояния, т. е. Â|a⟩ = ℏω|b⟩, Â|b⟩ = ℏω|c⟩, Â|c⟩ = ℏω|a⟩, (где ω действительно). Гамильтониан равен Ĥ =  + †.

a) Найдите собственные значения и собственные состояния энергии системы.

b) Найдите эволюцию системы, первоначально находившейся в состоянии |c⟩.

Задача 1.18. Атом имеет два энергетических собственных состояния |𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩ с собственными значениями 0 и 3ℏω соответственно, где w > 0.

a) Напишите матрицу соответствующего гамильтониана Ĥ₀.

b) В момент времени t = 0 включается поле, которое делает гамильтониан равным

Напишите матрицу нового гамильтониана и связанный с ней оператор эволюции в базисе {|𝑣₁⟩,|𝑣₂⟩}.

c) В момент времени t = 0 атом находится в состоянии |𝑣₁⟩. Найдите все значения времени t, в которые вероятность обнаружения атома в состоянии |𝑣₂⟩ максимальна.

Глава 2. Запутанность

И лишь тогда, а вовсе не до того, не загодя, не вначале

2.1. Пространство тензорных произведений

2.1.1. Тензорное произведение состояний и запутанные состояния

Рассмотрим две физические системы, разделенные в пространстве и/или во времени, но взаимодействующие между собой или по крайней мере взаимодействовавшие в прошлом. Чтобы исследовать состояния, возникающие после такого взаимодействия, работать с каждой системой в отдельности недостаточно. С ними надлежит иметь дело как с единым гильбертовым пространством, объединяющим гильбертовы пространства, связанные с отдельными системами.

Предположим, например, что у Алисы на Венере имеется[36] горизонтально поляризованный фотон |H⟩, а у Боба на Марсе — фотон в состоянии |V⟩. Тогда мы говорим, что совместное состояние фотонов Алисы и Боба описывается выражением

|H⟩_A ⊗ |V⟩_B ≡ |H⟩|V⟩ ≡ |HV⟩. (2.1)

Такие совместные состояния называются тензорными произведениями[37].

Однако совместное гильбертово пространство содержит не только тензорные произведения. Так, поскольку оно включает в себя состояния |HV⟩ и |VH⟩ и является линейным, то должно также содержать состояние, к примеру,

Это физическое состояние, поскольку его норма равна единице. Но его уже нельзя интерпретировать как тензорное произведение, т. е. комбинацию фотона Алисы в одном состоянии и фотона Боба в другом. Это уже нелокальная суперпозиция, или запутанное (entangled) состояние. А именно квантовая суперпозиция двух ситуаций: в одной из них у Алисы горизонтальный фотон, а у Боба вертикальный, в другой — наоборот. Если они измерят поляризацию своих фотонов в каноническом базисе, то обнаружат ортогональные поляризации.

Мы видим, что объединение двух гильбертовых пространств порождает совершенно новый класс состояний, который дает начало новой физике — физике нелокальных квантовых явлений. Это основная тема настоящей главы. Некоторые из таких явлений не только немыслимы с точки зрения классической физики, но и выглядят противоречащими фундаментальному здравому смыслу.

Прежде чем мы начнем изучать эту новую физику, нам придется заточить карандаши и обновить наш теоретический аппарат, чтобы его можно было применять к таким составным пространствам. Мы будем все рассуждения проводить для двусоставных (bipartite) пространств, но они могут быть расширены прямолинейным образом на системы с тремя и более частями.

Пространство тензорных произведений (мы также будем применять термин «составное пространство») 𝕍_A ⊗ 𝕍_B гильбертовых пространств 𝕍_A и 𝕍_B есть гильбертово пространство, состоящее из элементов |a⟩ ⊗ |b⟩ (где |a⟩ ∈ 𝕍_A и |b⟩ ∈ 𝕍_B) и их линейных комбинаций. Вот правила, которым подчиняются операции в этом пространстве:

1. Умножение на число:

λ (|a⟩ ⊗ |b⟩) = (λ|a⟩) ⊗ |b⟩ = |a⟩ ⊗ (λ|b⟩). (2.2)

2. Распределительный закон:

(|a₁⟩ + |a₂⟩) ⊗ |b⟩ = |a₁⟩ ⊗ |b⟩ + |a₂⟩ ⊗ |b⟩; (2.3a)

|a⟩ ⊗ (|b₁⟩ + |b₂⟩) = |a⟩ ⊗ |b₁⟩ + |a⟩ ⊗ |b₂⟩. (2.3b)

3. Скалярное произведение двух состояний |a⟩ ⊗ |b⟩ и |a'⟩ ⊗ |b'⟩ в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B задается формулой

⟨ab| a'b'⟩ = ⟨a| a'⟩⟨b| b'⟩. (2.4)

Элементы 𝕍_A ⊗ 𝕍_B, которые могут быть представлены в виде тензорного произведения |a⟩ ⊗ |b⟩, называют разделимыми, или сепарабельными (separable). Остальные запутаны.

Упражнение 2.1. Для любых двух векторов |a⟩ ∈ 𝕍_A и |b⟩ ∈ 𝕍_B покажите, что

Упражнение 2.2. Если заданы ортонормальные базисы

и

в 𝕍_A и 𝕍_B соответственно, постройте ортонормальный базис в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B. Какова размерность 𝕍_A ⊗ 𝕍_B?

Ответ: множество тензорных произведений {|𝑣_i⟩ ⊗ |ω_j⟩} есть ортонормальный базис. Размерность составного пространства есть произведение NM размерностей его компонентов.

Например, гильбертово пространство, представляющее поляризации двух фотонов, четырехмерно. Канонический ортонормальный базис в этом пространстве таков: {|