Отличная квантовая механика - [24]
Повторите упр. 1.12 для фотона, который находится в случайном статистически смешанном состоянии, описываемом следующим ансамблем:
a) либо |+⟩ с вероятностью 1/2, либо |—⟩ с вероятностью 1/2;
b) либо |R⟩ с вероятностью 1/2, либо |L⟩ с вероятностью 1/2.
Задача 1.4. Рассмотрите модифицированный протокол BB84, в котором Алиса посылает, а Боб анализирует фотон в поляризационном базисе, выбранном случайно, с равной вероятностью для каждого варианта из следующих трех: (0º, 90º), (30º, 120º), (60º, 150º). Найдите долю битовых ошибок, которые увидят Алиса и Боб в случае прямолинейной атаки, в которой Ева перехватывает фотон, измеряет его в одном из трех приведенных выше базисов (выбранном случайно и равновероятно) и отправляет Бобу то, что измерила. Потерь в линии нет, все оборудование идеально.
Задача 1.5. Рассмотрим оператор Â, выполняющий следующее преобразование:
a) Как состояние вертикальной поляризации преобразуется оператором Â?[35]
b) Напишите матрицу Â в каноническом базисе.
c) Выразите Â в нотации Дирака через внешнее произведение состояний |H⟩ и |V⟩.
d) Используя тот факт, что для любого линейного оператора  (λ|a⟩ + µ|b⟩) = λÂ|a⟩ + µ  |b⟩, определите, как  действует на состояния с круговой поляризацией.
e) Пользуясь предыдущим результатом, найдите матрицу Â в базисе круговой поляризации.
f) Найдите матрицу Â в каноническом базисе по его матрице в круговом базисе при помощи разложения (А.26) единичного оператора. Согласуется ли ваш результат с результатом пункта b)?
g) Является ли Â эрмитовым? Если нет, то каков оператор, сопряженный с ним?
Задача 1.6. Выполните упр. 1.24 с использованием альтернативного метода.
a) Напишите матрицу оператора волновой пластинки в базисе {|α⟩, |90º + α⟩}
b) Переведите эту матрицу в канонический базис при помощи разложения (A.26) единичного оператора.
Задача 1.7. Используя уравнение (1.5), покажите, что
Задача 1.8. Используя перемножение матриц, покажите, что четвертьволновая пластинка, ориентированная под любым углом, при применении к состоянию круговой поляризации дает состояние линейной поляризации.
Задача 1.9. Найдите базис измерения, связанный с устройством, которое состоит из:
a) полуволновой пластинки,
b) четвертьволновой пластинки
с оптической осью, ориентированной под углом α, за которой следует поляризующий светоделитель и два детектора фотонов.
Задача 1.10. Оператор Â имеет в каноническом базисе следующую матрицу:
a) Представьте этот оператор в виде Â = 𝑣>1|𝑣>1⟩⟨𝑣>1| + 𝑣>2|v>2⟩⟨𝑣>2|, где {|v>1⟩, |𝑣>2⟩} — ортонормальный базис. Найдите 𝑣>1, 𝑣>2, а также матрицы |𝑣>1⟩ и |𝑣>2⟩ в каноническом базисе.
b) Напишите матрицы внешних произведений |𝑣>1,2⟩⟨𝑣>1,2| в каноническом базисе и убедитесь явно, что Â = 𝑣>1|𝑣>1⟩⟨𝑣>1| + 𝑣>2|𝑣>2⟩⟨𝑣>2|.
c) Наблюдаемое Â измеряется в состоянии круговой поляризации |R⟩. Каковы вероятности возможных результатов?
d) Вычислите математическое ожидание результата измерения:
• используя определение математического ожидания из теории вероятностей;
• используя выражение для квантового среднего.
Убедитесь, что результаты одинаковы.
e) Вычислите дисперсию наблюдаемого Â в состоянии |R⟩.
Задача 1.11. Рассмотрите устройство для измерения поляризации фотона, имеющее следующие свойства:
• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом q, попадает в устройство, индикатор устройства показывает «2»;
• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом π/2 + q, попадает в устройство, индикатор устройства показывает «3».
a) Найдите собственные значения и собственные состояния оператора Â, связанные с наблюдаемым, измеренным этим устройством.
b) Найдите матрицы оператора Â в его собственном базисе и базисе {|H⟩, |V⟩}.
c) Найдите вероятность каждого результата измерения для фотона, линейно поляризованного под некоторым углом ϕ.
d) Найдите среднее и дисперсию этого измерения.
Задача 1.12. Напишите принцип неопределенности для наблюдаемых
Задача 1.13. Измерения наблюдаемого Â в состоянии |H⟩ дают результаты 0 либо 1, каждый с вероятностью 1/2. Измерения наблюдаемого
Задача 1.14. Найдите
Задача 1.15. Атом описывается в некотором базисе {|𝑣>1⟩, |𝑣>2⟩} гамильтонианом
a) Найдите собственные состояния и собственные значения энергии.
b) Энергия этого атома измеряется в состоянии
Найдите вероятности обнаружения каждого собственного значения энергии, а также среднего арифметического и дисперсии этого измерения.
c) Первоначально этот атом находится в состоянии |𝑣>1⟩. Найдите его состояние |ψ (t)⟩ в произвольный момент времени t. Сколько пройдет времени, прежде чем атом вновь окажется в состоянии |𝑣>1⟩ (с точностью до фазового множителя)?
Задача 1.16. Предположим, что оператор (1.5a), связанный с полуволновой пластинкой под углом α, соответствует эволюции под некоторым гамильтонианом в течение времени
