Отличная квантовая механика - [18]

Этот эффект показан на рис. 1.5. Когда длина линии связи невелика, частота получения надежных битов (secure bit rate), отфильтрованных Алисой и Бобом (пунктирные линии), равна частоте получения фотонов Бобом (сплошные линии), умноженной на некоторый постоянный коэффициент. Но когда частота их получения снижается настолько, что доля ошибок, связанных с темновым счетом, становится значимой, число надежных битов начинает падать быстрее, а протокол усиления секретности становится все менее эффективным. Когда число фотонов, доходящих до Боба, падает ниже некоторого критического уровня, соответствующего доле ошибок в 11 %, передача перестает быть надежной.

Упражнение 1.21. Полагая, что у Алисы есть идеальный источник единичных фотонов, постройте примерный график количества фотонов, получаемых Бобом, а также количества отфильтрованных битов секретного ключа в секунду в зависимости от расстояния передачи. На основании этого оцените максимальное возможное расстояние безопасной связи при следующих параметрах:

• потери фотонов в оптоволоконной линии: β = 0,05 км^–1;

• частота эмиссии фотонов источником Алисы: n₀ = 2 × 10⁷ и 2 × 10¹⁰ фотонов в секунду;

• квантовая эффективность фотонных детекторов: η = 0,1;

• частота темновых срабатываний, синхронизированных с фотонами Алисы[27], в каждом из детекторов Боба: 𝑓_d = 10 с^–1.

Ответ: см. рис. 1.5.

Дальность защищенной квантовой связи можно улучшить, повысив производительность источника фотонов на стороне Алисы или снизив частоту темновых срабатываний детектора. Однако это не приведет к принципиальному улучшению ситуации: экспоненциальная природа закона Бугера — Ламберта — Бера в любом случае ограничивает квантовую связь расстояниями, не превышающими несколько сотен километров. В условиях упр. 1.21 повышение производительности источника на три порядка позволит увеличить дистанцию всего в 1,7 раза (рис. 1.5).

Чтобы преодолеть этот предел — и создать «квантовый интернет», который пересек бы океаны и со временем покрыл бы своей сетью всю планету, — нам потребуется принципиально иная технология. Про эту технологию, известную как квантовый повторитель, речь пойдет в конце главы 2.

1.7. Операторы в квантовой механике

Теперь мы переходим к обсуждению линейных операторов, представляющих собой ключевой элемент квантовой физики[28]. Они играют двоякую роль. Прежде всего операторы описывают эволюцию: с течением времени квантовые состояния изменяются, и это изменение математически выражается операторами. Второе, несколько менее очевидное, приложение линейных операторов состоит в формальном описании квантовых измерений. В этом разделе мы начнем с первой их роли.

Упражнение 1.22. Найдите матрицу оператора |+⟩⟨—| в каноническом базисе и базисе {|R⟩, |L⟩}.

Упражнение 1.23. Найдите в каноническом базисе матрицу линейного оператора Â, отображающего

a) |H⟩ на |R⟩ и |V⟩ на 2 |H⟩;

b) |+⟩ на |R⟩ и |—⟩ на |H⟩.

Примером физической операции, которую можно связать с квантовым оператором, может служить волновая пластинка, изменяющая состояние поляризации фотона. Чтобы рассчитать этот оператор, мы должны принять некоторое соглашение. Как сказано в разд. В.3, волновая пластинка изменяет относительную фазу необыкновенной (параллельной оптической оси) и обыкновенной (перпендикулярной оптической оси) поляризаций на угол ∆ϕ, который равен π для полуволновой пластинки и π/2 для четвертьволновой. Кроме того, она вводит общий сдвиг фазы для всей волны.

Эти оптические фазовые сдвиги в применении к единичному фотону превращаются в квантовые фазовые сдвиги. Общим фазовым сдвигом, одинаковым для всех компонентов поляризации, можно пренебречь (см. разд. 1.3). Мы, однако, должны договориться, как с ним обращаться в наших выкладках. Будем считать, что волновая пластинка не дает фазового сдвига на обыкновенный компонент поляризации, тогда как необыкновенный ее компонент претерпевает фазовый сдвиг ∆ϕ. Иными словами, волновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом θ к горизонтали, производит следующие преобразования:

Упражнение 1.24. Найдите в каноническом базисе матрицы операторов, связанных с полуволновой и четвертьволновой пластинками с оптической осью, ориентированной под углом α к горизонтали, при помощи следующего пошагового алгоритма:

a) Напишите оператор Â_∆ϕ, связанный с преобразованием (1.4), в виде уравнения (A.25).

b) Выразите каждый бра- и кет-вектор в ответе пункта a) в матричной форме в каноническом базисе и вычислите матрицу результирующего оператора.

c) Подставьте значения ∆ϕ для полуволновой и четвертьволновой пластинок.

Ответ:

Упражнение 1.25. Пользуясь результатом предыдущего упражнения, убедитесь в верности следующих утверждений:

a) при применении к фотону, линейно поляризованному под углом θ, полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом α, дает фотон, линейно поляризованный под углом 2α — θ, в соответствии с рис. В.4;

b) четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной горизонтально или вертикально, превращает фотон с круговой поляризацией в фотон с поляризацией под ±45° и наоборот в соответствии с упр. В.9.