Отличная квантовая механика - [20]

Это можно записать иначе:

где мы ввели проекционный оператор (projection operator или projector):

Например, неразрушающее измерение состояния

в каноническом базисе дает следующие ненормированные состояния:

Состояние

представляет горизонтально поляризованный фотон, существующий с вероятностью pr_H = 4/5, а состояние

— вертикально поляризованный фотон, существующий с вероятностью pr_V = 1/5.

Интерпретировать измерения на языке проекционных операторов часто оказывается удобным, как мы увидим позже.

Упражнение 1.28. Найдите матрицу проекционного оператора, связанного с базисным состоянием |𝑣₂⟩ в базисе {|𝑣_i⟩} для гильбертова пространства размерности N = 4.

1.9. Квантовые наблюдаемые

1.9.1. Наблюдаемые операторы

Постулат квантовой физики об измерениях, определенный нами в разд. 1.4, гласит, что квантовое измерение выполняется в ортонормальном базисе, а результат этого измерения есть случайный элемент этого базиса. Сделаем еще шаг вперед и свяжем с каждым элементом |𝑣_i⟩ базиса действительное число 𝑣_i. Тогда вместо «результатом измерения является состояние |𝑣_i⟩» мы будем говорить «результатом измерения является величина 𝑣_i».

Для некоторых измерений такая связь естественна. Например, состояние с определенным положением, такое как |x_i⟩ = |x = 3 м⟩, естественным образом связано со значением координаты частицы (x_i = 3 м). Для других измерений, вроде измерения поляризации фотона, естественной связи между элементами базиса и числами не существует, но такую связь можно ввести искусственно. К примеру, если мы измеряем в каноническом базисе, то можем связать число 1 с состоянием |H⟩, а число –1 с состоянием |V⟩.

Информацию о базисе измерения и связанных с ним величинах удобно выразить, скажем, в виде оператора:

Этот оператор называется наблюдаемым оператором, или просто наблюдаемым (observable). Как мы знаем (разд. A.8), элементы |𝑣_i⟩ базиса измерений (собственного базиса наблюдаемого) представляют собой собственные состояния, или собственные векторы наблюдаемого, а соответствующие им величины 𝑣_i являются его собственными значениями. Воспользовавшись (1.12), можно ввести наблюдаемый оператор для почти любого измерения или измеряемой величины: положения, импульса, момента импульса, энергии и т. п. Как мы увидим в ближайших разделах, наблюдаемые операторы в квантовой физике имеют первостепенное значение.

Из этого общего утверждения есть одно важное исключение. Время в квантовой физике никогда не рассматривается как оператор. Не существует ни собственных состояний времени, ни квантов времени. Время — это просто непрерывная переменная.

Упражнение 1.29. Найдите наблюдаемые, связанные с базисами {|H⟩, |V⟩}, {|+⟩, |—⟩} и {|R⟩, |L⟩} (т. е. с измерительными приборами на рис. 1.2) и собственными значениями ±1 (соответственно) в нотации Дирака. Найдите матрицы этих операторов в базисе {|H⟩, |V⟩}.

Ответ: операторы Паули (1.6):

|H⟩⟨H|—|V⟩⟨V| = σ_z; (1.13a)

|+⟩⟨+|—|—⟩⟨—| = σ_x; (1.13b)

|R⟩⟨R|—|L⟩⟨L| = σ_y. (1.13c)

Итак, мы увидели обе роли операторов в квантовой механике: это преобразования квантовых состояний и описания измерительных приборов. Естественно спросить, схожи ли физические реализации одних и тех же операторов в разных ролях. Пример выше показывает, что это не так. Измерительные приборы, реализующие оператор Паули, показаны на рис. 1.2. При этом операторы Паули как средства преобразования состояния реализованы в упр. 1.26. Видно, что конфигурации в том и другом случаях совершенно различны.

Упражнение 1.30. Покажите, что:

a) операторы, соответствующие физическим наблюдаемым (1.12), являются эрмитовыми;

b) любой эрмитов оператор может быть связан с некоторым физическим наблюдаемым, т. е. его можно выразить в виде (1.12) с действительными собственными значениями и собственными состояниями, образующими ортонормированный базис.

Упражнение 1.31. Выполните спектральное разложение матриц Паули (1.7) с использованием методов линейной алгебры. Проверьте соответствие вашего результата определению, данному в упр. 1.29.

Мы видим, что каждое измерение может быть связано с некоторым эрмитовым оператором и каждый эрмитов оператор может быть связан с некоторым измерением. Более того, наблюдаемый оператор содержит в компактной форме полную информацию о базисе измерения и связанных с ним собственных значениях. Если дается эрмитова матрица наблюдаемого оператора, мы можем извлечь из нее эту информацию посредством спектрального разложения[30].

1.9.2. Среднее значение и неопределенность наблюдаемого

Предположим, мы измеряем наблюдаемое

в состоянии |ψ⟩. Результат этого измерения имеет вероятностный характер: мы будем наблюдать каждую величину 𝑣_i с вероятностью pr_i = |⟨𝑣_i|ψ⟩|². Мы можем отнестись к измеренной величине наблюдаемого как к случайной величине (приложение Б) и найти ее статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию.

Упражнение 1.32. Наблюдаемое

измеряется в состоянии |ψ⟩.

a) Покажите, что математическое ожидание этого измерения равно

Выражение в правой части этого уравнения называется также квантовым средним значением наблюдаемого

в состоянии |ψ⟩.