Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [9]
На основе этих рассуждений Гаусс доказал, что существуют поверхности, на которых сумма углов треугольников, образованных геодезическими линиями, превышает 180° либо, напротив, меньше 180°. Можно доказать, что из пятого постулата Евклида следует, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, поэтому открытие Гаусса противоречит пятому постулату. Судя по дневникам Гаусса, примерно в 1824 г. он пришел к следующему выводу: доказать пятый постулат, исходя из остальных постулатов, нельзя, так как он не зависит от них. Кроме того, можно создать полностью логичную геометрию, где этот постулат невыполним, и при этом не возникнет никаких противоречий с остальными четырьмя. Хотя в те годы Гаусс уже считался ведущим математиком Европы, он решил, что общество не готово к открытию такого масштаба, и не опубликовал свои записи.
Некоторые исследователи утверждают, что именно Гаусс первым рассмотрел вероятность того, что наша Вселенная имеет неевклидову геометрию. Говорят, что он поднялся на три горные вершины с теодолитом, чтобы измерить углы треугольника, образованного этими горами, но точность измерений оказалась недостаточной, чтобы сделать какие-то выводы. Любопытно, что можно экспериментально доказать, что физическое пространство не является евклидовым, но доказать его «евклидовость» не получится. Евклидовы пространства нулевой кривизны — это граничный случай, разделяющий пространства положительной и отрицательной кривизны. В измерение кривизны, как и в любое другое измерение, может вкрасться ошибка: всегда будет существовать вероятность, что отклонение от нуля слишком мало, чтобы его можно было обнаружить. Следовательно, нельзя доказать экспериментально, что данное пространство однозначно является евклидовым.
Вскоре после Гаусса еще один ученый пришел к тому же выводу, и он нашел в себе смелость опубликовать свои изыскания. В его труде пятый постулат Евклида был заменен следующим: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, параллельные ей». Речь идет о геометрии Лобачевского. В действительности к этому выводу независимо друг от друга пришли два математика: Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи, сын Фаркаша Бойяи, друга самого Гаусса. Фаркаш Бойяи увидел в работах Лобачевского свои же идеи и настолько заинтересовался геометрией Лобачевского, что в 62 года начал изучать русский язык, чтобы прочесть его труды в оригинале. На это ему понадобилось всего несколько месяцев.
Бойяи и Лобачевский не пытались доказать пятый постулат Евклида исходя из других постулатов. Вместо этого они заметили, что постулат о параллельности прямых должен быть независимым от остальных. До них в отличие от многих своих предшественников этим же путем следовал Иоганн Ламберт. Ученые пришли к выводу, что независимость пятого постулата имеет большое значение: можно заменить его другим постулатом о параллельности прямых, возможно даже противоположным по смыслу, получить новую непротиворечивую систему постулатов и, как следствие, полностью непротиворечивую геометрию. Независимо друг от друга Бойяи и Лобачевский выбрали один и тот же альтернативный постулат и исследовали полученную неевклидову геометрию, приведя для ее теорем доказательства, аналогичные доказательствам Евклида.
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Абсолютная геометрия — это часть геометрии, которая выводится из первых четырех постулатов Евклида. Она называется абсолютной, так как является общей частью евклидовой и неевклидовой геометрий. Как мы уже показали, отличие между ними заключается лишь в пятом постулате о параллельности прямых.
Большое историческое значение имеет четырехугольник Саккери, рассмотренный Джироламо Саккери, и четырехугольник Ламберта, рассмотренный немецким математиком Иоганном Ламбертом. Они использовались для доказательства пятого постулата, но безуспешно. Саккери пытался показать, что отрицание пятого постулата ведет к противоречию, и тем самым доказать его. Однако он совершил ошибку, посчитав некоторые результаты неверными лишь на основании того, что они противоречили интуиции.
Ламберт, напротив, в посмертно изданной книге «Теория параллельных линий» (1766) приводит похожие рассуждения, что и Саккери, но не содержащие ошибок. По-видимому, он представлял, что можно сформировать геометрию без пятого постулата, так как писал: «Я склоняюсь к мысли, что гипотеза острого угла верна на некоторой сфере воображаемого радиуса». Этот немецкий математик также открыл несколько интересных формул, описывающих треугольники гиперболической геометрии, показав, что сумма углов в таких треугольниках всегда меньше 180°. По формуле Ламберта для этих треугольников справедливо следующее соотношение:
(π — (α + β + Y)) = CS>αβγ,
где
α + β + Y — сумма углов треугольника (выраженная в радианах);
С — положительный коэффициент пропорциональности, связанный с неизменной кривизной гиперболического пространства, в котором находится треугольник;
S>αβγ — площадь треугольника.
* * *
