Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [11]

Например, для расчета евклидовой метрики, то есть расстояния между двумя точками с известными координатами, нужно построить треугольник: одной стороной этого треугольника будет отрезок, соединяющий данные точки, двумя другими сторонами будут проекции этого отрезка на линии, которые параллельны перпендикулярным осям координат и проходят через данные точки. Таким образом, в полученном треугольнике можно будет вычислить гипотенузу по теореме Пифагора, как показано на следующем рисунке:

Евклидово расстояние (метрика) между точками Р и Q равно гипотенузе прямоугольного треугольника, получаемого построением прямых, параллельных осям координат X, Y и проходящих через точки Р и Q. Длина искомой гипотенузы вычисляется по теореме Пифагора.

МЕТРИКА МАНХЭТТЕНА

Еще одним примером метрики, эквивалентной евклидовой метрике, является так называемое манхэттенское расстояние, рассчитываемое по формуле d((х_1,у_х), (х₂,у₂)) = |x₂ - x₁ | + |y₂ - y₁|. Эта метрика измеряет расстояние, пройденное пешеходом между двумя точками в городе, разделенном на прямоугольные кварталы. И снова мы видим, что плоскость сама по себе не является евклидовой или неевклидовой, а ее свойства зависят от используемой метрики.

* * *

Риман вновь изучил основные положения евклидовой геометрии. Проанализировав второй постулат, гласящий, что «ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой», он заметил, что это положение следует отличать от утверждения «всякая прямая является бесконечной». Он пришел к выводу, что в рамках этого нового подхода ко второму постулату необходимо отказаться от пятого постулата. Риман заменил его следующей фразой: «любые две прямые пересекаются». Путем подобных рассуждений он пришел к так называемой эллиптической геометрии.

Этот концептуальный переход будет проще понять, если мы рассмотрим геометрию поверхности Земли. Какую форму имеют кратчайшие линии, соединяющие две данные точки, то есть геодезические линии? Учтем, что они будут иметь наименьшую кривизну, а наименьшей кривизне соответствует наибольший радиус окружности. Следовательно, эти линии будут лежать на больших кругах земного шара, например на экваторе или меридиане. Этот результат, относящийся к сферической геометрии, прекрасно известен пилотам дальнемагистральных самолетов. Если самолет находится в одной точке экватора, а нужно попасть в другую точку экватора, то пилот должен следовать вдоль линии экватора. Однако если самолет находится в точке с координатой 30° северной широты, а пункт назначения находится на этой же широте, то кратчайший путь будет проходить ближе к северу. Теперь становится понятно, почему самолеты, следующие, например, из Парижа на Гавайи, летят через Гренландию, хотя Гавайи находятся южнее Парижа.

Геодезическая линия (кратчайший путь между двумя данными точками) от Парижа до Гавайских островов проходит через Гренландию и Канаду.

Чтобы найти кратчайшую линию, соединяющую две точки Земли, нужно найти плоскость, проходящую через эти точки и центр Земли, затем провести линию пересечения найденной плоскости и поверхности Земли, как показано на следующем рисунке:

Если говорить о параллельности прямых, то нетрудно заметить, что в сферической геометрии подобного понятия не существует, так как любые две «прямые» (большие круги) пересекаются. Треугольники на поверхности земного шара могут иметь два или даже три прямых угла: чтобы построить такой треугольник, достаточно поместить две его вершины на экваторе, а третью — на одном из полюсов. В отличие от евклидовой геометрии, где все треугольники имеют сумму углов, равную 180°, в гиперболической и сферической геометрии все обстоит совершенно иначе. В сферической геометрии сумма углов треугольника всегда больше 180° и различается у разных треугольников. В одних треугольниках она может быть равной 190°, в других — 250°. Однако доказано, что два треугольника одной и той же площади имеют равную сумму углов.

Треугольник, построенный на поверхности сферы. Сумма углов этого треугольника больше 180°.

ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА

Какая из трех геометрий «настоящая»? Какая из трех геометрий, о которых мы рассказали выше, лучше описывает реальный мир? Со временем стало понятно, что геометрия Евклида является полностью приемлемым приближением реальности, если речь идет об объектах, сопоставимых по масштабу с Землей, но на больших расстояниях все уже не столь очевидно. Если мы попробуем измерить расстояния на поверхности сферы и найти кратчайшие расстояния на ней, то поймем, что наш мир описывается эллиптической геометрией (геометрией Римана). При путешествиях со скоростями, близкими к скорости света, пространство-время будет описываться геометрией Минковского, которая является неевклидовой. Но что происходит во Вселенной вдали от поверхности Земли, если не брать в расчет время? Действительно ли мы живем во вселенной, пространство которой подчиняется законам геометрии Евклида?

Гаусс по просьбе короля Ганновера некоторое время занимался геодезическими исследованиями. В ходе исследований ему потребовалось измерить углы треугольника, образованного тремя горными вершинами, отстоящими друг от друга на расстояние около 50 миль. Отклонение полученной суммы углов от 180° было меньше допустимой ошибки измерений; таким образом, найденная сумма углов треугольника соответствовала всем трем гипотезам. В свою очередь, Лобачевский заметил, что треугольник, вершины которого расположены на Земле, будет слишком мал, чтобы заметить расхождения с евклидовой геометрией. Лобачевский занялся астрономическими исследованиями, но ему также не удалось прийти к какому-либо выводу, так как разница при измерении расстояний между Землей и Солнцем составила менее одной тысячной секунды. Тогда он обратился к треугольникам большего размера и занялся наблюдениями параллакса звезд. Однако ни ему, ни кому-то другому не удалось найти треугольник, где сумма углов отличалась бы от 180°, несмотря на то что в гиперболической геометрии эта разница возрастает с увеличением площади треугольника.