Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [12]
Согласно теории относительности, нашу Вселенную наилучшим образом описывает эллиптическая геометрия (геометрия Римана). Б. Льюис говорил: «В общей теории относительности Эйнштейна геометрия пространства — это риманова геометрия. Свет движется вдоль геодезических линий, а кривизна пространства зависит от природы материи, его составляющей».
Для утверждения в должности профессора факультета философии и члена совета Эрлангенского университета Феликс Клейн (1849–1925) в 1872 г. написал доклад (правда, он так и не был зачитан публично), который можно считать одним из ключевых трудов по геометрии наряду с диссертацией Римана и «Началами» Евклида.
В своем докладе Клейн попытался дать формальное определение геометрии, выйдя за рамки интуитивных представлений. Он систематизировал множество появившихся в то время разделов геометрии в так называемой эрлангенской программе, где привел их классификацию в зависимости от свойств, которые остаются неизменными для определенных групп преобразований[12]. Понятие группы было известно до Клейна, но именно он открыл фундаментальную взаимосвязь геометрии и групп преобразований. Так, евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, которые не изменяются при движениях без деформации. К подобным движениям, которые называются изометрическими преобразованиями (в переводе с греческого «изометрия» означает «равного размера»), относится перенос, симметрия, вращение и их композиции. Инвариантами этих преобразований являются, к примеру, расстояние между точками, площадь поверхности, углы между прямыми и так далее.
Аналогично аффинная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований (к ним относятся изометрические преобразования, растяжения и сжатия). Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно группы проекций, топология занимается изучением инвариантов непрерывных преобразований.
Помимо прочего, Клейн доказал, что евклидову геометрию, аффинную геометрию и неевклидовы геометрии можно считать частными случаями проективной геометрии. Если не вдаваться в детали, то доказательство основано на рассмотрении преобразований проективного пространства, которые оставляют неизменным определенное коническое сечение, называемое абсолютным. В зависимости от типа конического сечения результатом будет тот или иной раздел геометрии.
Если оставить в стороне технические вопросы, то это утверждение приводит к очень важному результату: геометрия Евклида является согласованной (непротиворечивой) тогда и только тогда, когда непротиворечивыми являются неевклидовы геометрии. Так был положен конец спорам о том, имеют ли смысл неевклидовы геометрии. Тем не менее еще несколько лет вопрос оставался открытым, так как некоторые исследователи считали рассуждения Клейна ошибочными.
Эрлангенская программа открыла путь к изучению абстрактных геометрических пространств. Теперь математики могли не ограничиваться фигурами на плоскости или в трехмерном пространстве. Стало возможным изучать множество измерений и переменные, которые не обязательно являются пространственными. Например, можно говорить о пространстве переменных термодинамики, описывающих состояние газа, которое может иметь больше трех измерений: давление, объем, температуру и различные концентрации веществ, из которых состоит газ. Мы можем изучать геометрические свойства этих переменных, но уже с абстрактной точки зрения.
Если мы попытаемся описать Вселенную с помощью фигур, которые изучал Евклид, то столкнемся со множеством ограничений. Фигуры геометрии природы очень далеки от идеальных фигур евклидовой геометрии.
В начале XIX в. шотландский ботаник Роберт Броун исследовал каплю жидкости, которая осталась в магматической породе при ее затвердевании. Изучив каплю под микроскопом, Броун увидел следы мельчайших частиц, которые безостановочно совершали абсолютно хаотичные колебания. Он уже наблюдал подобное движение, когда изучал движение частичек пыльцы в воде. Броун дал этому явлению такое объяснение: жизненная сила молекул растения сохранилась спустя много лет после его смерти. Однако впоследствии это объяснение было признано неубедительным. Броун начал склоняться к мысли, что подобные колебания, получившие название броуновского движения, имеют физическую, а не биологическую природу. Например, с уменьшением размеров частиц или с ростом температуры скорость движения частиц увеличивалась.
Лишь в 1905 г. Альберт Эйнштейн изучил броуновское движение с точки зрения кинетической теории газов, разработанной Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом. В наши дни это явление объясняется следующим образом: частица пыльцы, погруженная в жидкость, соударяется с молекулами жидкости, и при каждом соударении траектория частицы изменяется. С одной стороны, отклонения ее движения произвольны, с другой стороны, так как микроскоп позволяет увидеть только колебания определенной величины, истинная траектория частицы намного сложнее наблюдаемой.
Броуновское движение стало одним из первых явлений природы, в котором прослеживаются признаки самоподобия в различном масштабе. На рисунке приведена траектория броуновской частицы, зафиксированная в 1912 г. французским физиком Жаном Батистом Перреном. Положение частицы фиксировалось каждые 30 с.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.