Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [10]
* * *
Использование нового постулата привело к созданию новой совокупности теорем и выводов, которую стали называть гиперболической геометрией. Лобачевский и Бойяи пришли к необычным выводам: через одну точку проходит бесконечно много прямых, параллельных данной; сумма углов треугольника меньше 180° для двух данных параллельных прямых существует третья прямая, перпендикулярная одной из них и параллельная другой, и так далее.
Все это противоречило интуиции: подобную ситуацию нельзя было представить, не переосмыслив понятия прямой, плоскости и другие. Тем не менее с точки зрения логики новая геометрия была абсолютно корректной. Это вызвало крупный кризис в математике XIX в., который наложился на другие противоречия той эпохи. Как бы то ни было, в трудах Лобачевского и Бойяи было окончательно показано, что постулат о параллельности прямых не связан с остальными и что Евклид совершенно справедливо включил его в число постулатов, так как его нельзя логически вывести из предыдущих.
Немецкий математик Август Мёбиус (1790–1868), современник Бойяи и Лобачевского, известен благодаря ленте, носящей его имя. Чтобы сделать ленту Мёбиуса, достаточно взять полоску бумаги и соединить ее концы, повернув один из них на 180°. Если мы «пройдем» вдоль полученной поверхности, то обойдем всю ленту целиком и попадем в исходную точку, не переходя на «другую сторону», которой фактически не существует. Если мы разрежем ленту вдоль по линии, равноудаленной от краев, то получим не две ленты Мёбиуса, а одну в два раза большей длины.
Лента Мёбиуса — поверхность, соединенная «двумя сторонами».
Это приводит к удивительному результату: согласно Мартину Гарднеру, лента Мёбиуса, строго говоря, не является двумерным объектом, так как имеет определенную толщину (ведь не существует листа бумаги с нулевой толщиной). Если мы будем рассматривать ленту Мёбиуса как трехмерный объект, то увидим, что ее поперечное сечение имеет форму прямоугольника. Саму ленту в этом случае следует рассматривать как «скрученную призму». Если бы ее сечение имело форму четырехугольника, то перед тем как склеить два конца ленты, мы могли бы повернуть их друг относительно друга всего на четверть оборота, на пол-оборота (как обычную ленту Мёбиуса) или на любое другое число оборотов. А если бы ее сечение имело форму пятиугольника, а не четырехугольника? Какой объект получился бы в этом случае? Изучением подобных объектов и всех геометрических тел, которые остаются неизменными после различных преобразований, занимается область математики под названием топология, о которой мы поговорим в следующих главах.
Спустя несколько лет после открытия гиперболической геометрии, в 1851 г., немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866), ученик Гаусса, выступил с обязательным докладом в Гёттингенском университете, чтобы получить возможность претендовать на пост приват-доцента. Этот доклад получил невероятную известность. В нем Риман обрисовал новое видение геометрии, уделив основное внимание изучению многообразий с произвольным числом измерений в различных пространствах. Используя интуитивно понятный язык и не приводя доказательств, он ввел понятие дифференцируемого многообразия (обобщение понятия дифференцируемой поверхности). Понятие «многообразие» содержит отсылку к изменяющимся координатам, которые описывают совокупность точек некоторого объекта, а прилагательное «дифференцируемое» означает, что многообразие является гладким и не содержит складок или разрывов. Согласно Риману, классические поверхности являются двумерными многообразиями, кривые — одномерными многообразиями, а точки имеют число измерений, равное нулю. Также существуют трехмерные и многомерные многообразия, которые, однако, не так просто изобразить графически.
Кульминацией первой части доклада стало определение понятия тензора кривизны, которое является обобщением понятия гауссовой кривизны на многообразиях. Кривизна кривой в точке рассчитывается путем построения соприкасающейся окружности и вычисления величины, обратной радиусу этой окружности. Так, кривизна окружности радиуса 2 во всех точках будет равна 0,5, а прямая будет иметь кривизну, равную нулю, так как соприкасающаяся окружность для этой прямой будет иметь бесконечно большой радиус.
Очевидно, что это определение непросто обобщить для всей поверхности, так как для каждой точки поверхности можно построить бесконечное множество соприкасающихся окружностей. Какую из них нужно выбрать? На этот вопрос ответил Риман, разработав так называемый тензор кривизны, причем не только для поверхностей, но и для многообразий с произвольным числом измерений.
На этой иллюстрации показано, что с увеличением кривизны радиус соприкасающейся окружности уменьшается.
>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)
Во второй части доклада Риман рассмотрел модель, которая наилучшим образом объяснила бы физическое пространство — пространство, в котором мы живем. Сколько в нем измерений? Какова его геометрия?
В трактовке Римана любое пространство (будь то плоскость, трехмерное пространство или любое другое) можно изучить с помощью дифференцируемого многообразия. Если ввести на этом многообразии понятие расстояния, или метрику, то мы определим геодезические линии (напомним, что это кратчайшие линии, соединяющие две любые точки поверхности) и геометрию на этом многообразии. Так, плоскость сама по себе не является евклидовой или неевклидовой. Лишь введение евклидовой метрики на плоскости подтверждает правильность пятого постулата Евклида, и, как следствие, плоскость становится евклидовой. Если ввести на этой плоскости другую метрику, то этот постулат, возможно, перестанет выполняться.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.