Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [8]

Когда бассейн будет наиболее удален от окна, его проекция примет форму эллипса. Приблизим наблюдателя и окно к бассейну так, что часть бассейна будет располагаться между наблюдателем и картиной. Проекция бассейна на плоскость окна по-прежнему будет иметь форму эллипса, но часть бассейна уже не будет видна на картине, так как будет располагаться слишком низко. Поместим наблюдателя еще ближе к бассейну, так, чтобы он располагался на краю бассейна. В этом случае луч, соединяющий глаз наблюдателя и точку окружности бассейна, в которой находится наблюдатель, будет параллелен картине и никогда не пересечет ее плоскость либо же пересечет ее в бесконечно удаленной точке. Так как одна из точек окружности будет бесконечно удаленной, проекция окружности примет форму параболы.

Что произойдет, когда наблюдатель войдет в бассейн? В этом случае плоскость, проходящая через точку, в которой расположен наблюдатель, и параллельная окну, пересечет окружность в двух точках А и В. Проекциями этих точек будут бесконечно удаленные точки. Часть бассейна, которая будет располагаться позади наблюдателя, в перспективе примет форму незамкнутой кривой с двумя асимптотами. Эти асимптоты будут параллельны прямым, соединяющим наблюдателя и точки А и В соответственно. Дугу окружности, расположенную позади наблюдателя, также можно спроецировать на плоскость окна. Мы получим еще одну кривую, симметричную первой, которая будет представлять собой не что иное, как еще одну ветвь гиперболы.

Изображение круглого бассейна в зависимости от положения наблюдателя.

_{(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

Открытия Дезарга позволили разработать общую теорию проекций, изучением которой занимались геометры первой половины XIX в., среди которых отметим Гаспара Монжа и Жан-Виктора Понселе. Благодаря проективной геометрии, созданной этими математиками, стала возможной разработка неевклидовых геометрий и евклидовых моделей для них. В первых книгах о перспективе, написанных французскими исследователями начала XVII в. на основе работы Дезарга, описывалась так называемая проекция Кавалье, или военная перспектива. В 1794 г. Монж описал теорию построения ортогональных проекций трехмерных объектов на плоскости. Созданная Монжем дисциплина сегодня называется начертательной геометрией и используется при построении чертежей. В свое время начертательная геометрия в корне изменила военно-инженерное дело.

Ортогональная проекция.

_{(Источник: Лаура Элизабет Виолант)}

В архитектуре эта проекция стала использоваться значительно позже: проекция Кавалье и аксонометрическая проекция (в ней трехмерный объект изображается на чертеже при помощи проекций на три оси, находящиеся на плоскости чертежа) стали применяться в конце XIX в.

Вклад Дезарга можно вкратце описать так: в параллельной проекции эпохи Возрождения лучи зрения считались параллельными; в теории Дезарга они сходятся в бесконечно удаленной точке. Иными словами, проекция Кавалье равносильна центральной проекции, в которой взгляд художника «обращен в бесконечность». Русский художник-супрематист Эль Лисицкий полагал, что с появлением этой проекции с субъективной живописью будет покончено, так как не будет существовать точки, в которой находится наблюдатель: художник берет на себя роль творца, поскольку его взгляд исходит из бесконечности.

ПОЯВЛЕНИЕ КООРДИНАТ

Появление работ Рене Декарта и Пьера Ферма, создателей так называемой аналитической геометрии, ознаменовало начало современной геометрии. Они впервые ввели оси координат, с помощью которых точки геометрических фигур можно выразить в численном виде. Следовательно, появляется возможность использовать алгебраические методы. Таким образом, геометрические задачи сводились к алгебраическим. Решение алгебраической задачи позволяло дать ответ к исходной, геометрической задаче.

За год до публикации «Геометрии» Декарта Ферма писал: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется геометрическое место, прямая или кривая».

Сумма углов треугольника

Некоторое время в механике и других областях физики геометрия занимала второстепенное положение по отношению к так называемым дифференциальным уравнениям[10]. Это положение вещей изменил Гаусс, «принц математиков»: он заложил фундамент геометрии, в которой изучались дифференцируемые функции, иными словами, дифференциальной геометрии. Гаусс изучал кривые и поверхности в пространстве и определил базовое обозначение меры кривизны поверхности. Например, с увеличением радиуса окружности ее кривизна уменьшается. Продолжив эти рассуждения, получим, что кривизна прямой равна нулю, что и следовало ожидать.

Выполнить расчет кривизны поверхности сложнее. Если говорить упрощенно, то для двух точек данной поверхности кратчайшая кривая, соединяющая две эти точки (так называемая геодезическая линия) и не выходящая за пределы данной поверхности, будет являться кривой наименьшей кривизны. Это утверждение является более общим по отношению к постулату, который гласит, что на евклидовой плоскости кратчайшей линией между двумя точками является прямая