Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [6]
Греческий математик Евклид, изображенный фламандским художником Юстусом ван Гэнтом.
Известно, что Евклид написал 12 книг, из которых до нас дошли лишь пять: «Начала геометрии», «Данные», «О делении», «Явления» и «Оптика». «Начала» стали обязательными к изучению во всех университетах и научных центрах в течение следующих двух тысяч лет[2]. Считается, что существует около полутора тысяч изданий этой книги на греческом, арабском, латыни и других языках. До середины XX века эта книга была второй по числу проданных экземпляров, уступая лишь Библии.
«Начала» — один из древнейших, красивейших и подробнейших научных трудов среди всех, что дошли до наших дней. Они состоят из тринадцати книг: шесть посвящены планиметрии, три — арифметике, одна — измерениям, три — основам стереометрии. Целью Евклида было изложить основы известной на тот момент математики без какого-либо практического применения. Его труд оказался столь совершенным, что был превзойден лишь в конце XIX века[3]. В его теоремах все видели «истинные» подтверждения реальности, и никто не мог предположить, что возможна иная геометрия.
Чтобы попытаться понять, что побудило Евклида посвятить столько сил написанию столь подробного труда, вернемся к моменту, когда пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата с единичной стороной равна √2. Это число не является рациональным, то есть его нельзя представить в виде частного целого и натурального чисел. Говоря языком той эпохи, диагональ квадрата была несоизмерима с его стороной. Этот факт сегодня кажется совершенно не удивительным, но некоторые греки, в частности пифагорейцы, считали его подлинным крахом всей математики, пошатнувшим устои космологии. Евклид, которому были известны работы пифагорейцев, стремясь найти выход из этого кризиса, решил сформулировать прочные основы всей геометрии, которые вкупе с непогрешимой логикой позволили бы получить серию непреходящих верных результатов.
Но для этого требовалось решить небольшую логическую проблему: любое доказательство основывается на одной или нескольких гипотезах, из которых путем логических рассуждений получается результат, называемый тезисом. Истинность тезиса зависит от корректности рассуждений и от истинности исходных гипотез (этот вопрос рассмотрел Аристотель в своих сочинениях под общим названием «Логика»). Чтобы иметь возможность определить истинность гипотез, нужно считать их результатами других рассуждений, гипотезы которых также должны быть истинными. Очевидно, что этот процесс бесконечен: каждая гипотеза обязательно должна являться тезисом, требующим доказательства.
Евклид понял, что не все положения в математике можно доказать, и некоторые из них нужно принять как допущения. В «Началах» он впервые использовал аксиоматический метод, что стало поворотным моментом в истории математики. Евклид рассматривал гипотезы трех типов: определения (в них приводятся значения терминов; всего Евклид формулирует 23 определения), постулаты (у Евклида их пять) и аксиомы (общие утверждения; их тоже пять[4]).
Эта система была выстроена в соответствии с так называемым аксиоматико-дедуктивным методом, который определил путь развития всей современной математики. Бесспорно, если мы тщательно проанализируем утверждения и теоремы, которые предположительно доказаны, то обнаружим некоторые неточности. Например, Евклид использовал принцип, не указанный среди аксиом, согласно которому через две точки можно провести только одну прямую. Но эти ошибки были обнаружены лишь в начале XIX в.[5]
Наибольшая полемика разгорелась вокруг пятого постулата «Начал», так называемой аксиомы параллельности: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»[6]. Этот постулат напоминает теорему, и кажется, что для него можно привести доказательство. Исследователи «Начал» и авторы комментариев понимали, что этот постулат является интуитивным.
Евклид нечасто использует его, как будто хочет избежать: впервые этот постулат используется лишь в двадцать девятой теореме. Это наводит на мысль, что сам Евклид пытался доказать это утверждение, но, убедившись в том, что это невозможно, добавил его к остальным постулатам.
Позднее это побудило математиков исправить этот «дефект» и найти доказательство пятого постулата. Безуспешные попытки продолжались двадцать веков. Тот, кто считал, что доказал этот постулат, в действительности находил другую, эквивалентную формулировку[7]. Многочисленные бесплодные попытки привели к тому, что доказательство пятого постулата стало четвертой знаменитой задачей греческой математики после квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба. Лишь в XIX в. Карл Фридрих Гаусс и Николай Лобачевский окончательно показали, что этот постулат недоказуем. Это удивительное открытие поколебало уверенность в том, что геометрия Евклида является единственно возможной, и проложило путь так называемым неевклидовым геометриям, о которых мы подробно поговорим чуть позже.
В эпоху Возрождения ученые и художники начали поиски новых геометрических методов, которые бы позволили точнее изображать реальность. Среди наиболее известных — Филиппо Брунеллески, Леонардо да Винчи и Лука Пачоли, которые в своих работах стремились передать на плоскости ощущение глубины. Благодаря их усилиям сформировались практические основы науки, позднее получившей название «перспектива»
