Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [28]

(любые две его точки можно соединить дугой некой кривой).

В действительности понятия функции, непрерывности и дифференцируемости имеют точные определения, которые изучаются в старших классах средней школы. В настоящее время функция называется непрерывной в точке, если односторонние пределы функции в этой точке совпадают с ее значением в этой точке[22]. Однако при изучении функций часто бывает недостаточно анализа одной лишь непрерывности и возникает необходимость в определении каких-то дополнительных свойств. Одним из таких свойств является равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность означает, что небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции и, кроме того, величина этих изменений зависит от величины изменений аргумента, а не от самого значения х (отсюда и характеристика «равномерная»). Любая равномерно непрерывная функция является непрерывной, но не наоборот.

Рассмотрим в качестве примера функцию f(х) = 1/х на множестве вещественных чисел. Эта функция является непрерывной, но не является равномерно непрерывной, так как при значениях х, близких к 0, значения f(х) изменяются очень быстро. Существуют и другие дополнительные характеристики непрерывных функций, например абсолютная непрерывность — более строгое ограничение, чем равномерная непрерывность.

Хотя чешский математик Бернард Больцано (1781–1848) предвосхитил появление точного определения непрерывности, длительное время его работы игнорировались. Идея, которая легла в основу современного определения непрерывности (по сути, идентичная идеям Больцано), принадлежит французскому математику

Огюстену Луи Коши (1789–1857), который описал непрерывность функции, использовав понятие предела. Так, согласно Коши, функция f(х) непрерывна в точке а. если справедливо соотношение:

lim_x->a f(х) = f(а).

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Это утверждение, важнейшее в дифференциальном исчислении, было сформулировано совместно Ньютоном и Лейбницем. Определение дифференцируемости интуитивно понятно: если в некоторой точке кривая не имеет единственной касательной, то функция, описывающая эту кривую, не дифференцируема в этой точке. В начале XIX в. большинство математиков полагали, что непрерывная функция имеет производную (иными словами, касательная к графику этой функции однозначно определена) почти во всех точках.

Однако в 1872 г. Карл Вейерштрасс выступил в Берлинской академии наук с докладом, который потряс все математическое сообщество: он показал, что существует непрерывная функция, не дифференцируемая ни в одной точке. Эта функция определяется как сумма синусоидальных функций и имеет два параметра, а и Ь:

Когда а принимает значения от 0 до 1, функция является непрерывной. Однако Вейерштрасс доказал, что эта функция не имеет производной ни в одной точке, если Ь — нечетное целое число и ab > 1 + 3π/2. Английский математик Готфри Харолд Харди несколько позднее доказал, что достаточно, чтобы выполнялись неравенства ab > 1 и b > 1.

График функции Вейерштрасса при а = 0,7 и b = 9.

В своей работе Вейерштрасс упоминает Римана, который, по-видимому, исследовал похожую функцию ранее, в 1861 г., но не опубликовал свои результаты. Функция Римана также представляет собой сумму синусоидальных функций, но не содержит параметров, а индекс n в ней используется иначе:

Построить график функции такого вида непросто. На следующей иллюстрации представлен график функции Римана и колебания курса акций некоего банка в течение года. Этот пример показывает, что подобная кривая может описывать реальные события.

Первая функция такого типа была открыта не Вейерштрассом, а уже упомянутым Больцано, который примерно в 1830 г. обнаружил непрерывную функцию, не имеющую производной практически ни в одной точке. Рукопись была утеряна, опубликовали ее лишь после Первой мировой войны, когда ее обнаружил другой чешский математик, М. Яцек в Австрийской национальной библиотеке в Вене. В этой рукописи Больцано доказывает, что найденная им функция недифференцируема во всех точках за исключением множества, мера которого равна нулю. Позднее он доказал, что эта функция недифференцируема во всех точках.

В отличие от не дифференцируемых функций, заданных аналитически, из прошлых примеров, функция Больцано определяется как предел последовательности полигональных функций В₁(х), В₂(х), В₃(х)…, первые две из которых представлены на следующих графиках.

_{Источник: Мария Изабель Бинимелис.}

Последователями Вейерштрасса было найдено множество других непрерывных не дифференцируемых функций. То, что сначала казалось необычным, в итоге оказалось вполне привычным. Более того, в настоящее время известно, что количество непрерывных функций, которые также являются дифференцируемыми, относительно невелико.

Пудинг и палатка

В 1903 г. японец Тейджи Такаги (1875–1960) привел пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке, которая была проще, чем функция Вейерштрасса. Аналитически она задается очень похожим образом. Главное отличие заключается в том, что ее основным элементом является график функции, имеющий форму палатки в виде перевернутой буквы «V», представленный на иллюстрации: