Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [26]

* * *

Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.

Эта формула находит свое применение при подсчете клеток. Выполняются практически те же действия, что и при измерении расстояний на карте с помощью циркуля. Дана фигура, размерность которой мы хотим найти. Фигура помещается поверх сетки с шагом ε, который принимает значения 1 мм, 1 см и так далее в зависимости от размеров фигуры. Затем подсчитывается число квадратиков или клеток, которые покрывает фигура. Будем постепенно уменьшать значение и подсчитывать соответствующее число клеток для каждого. Затем, подобно алгоритму Ричардсона, построим график, осями которого будут логарифмические шкалы. На оси абсцисс будем обозначать логарифмы 1/ε, на оси ординат — логарифмы N(ε). Угловой коэффициент прямой, аппроксимирующей точки графика, будет равен D_M. Эта процедура применима к любым прямым, плоскостям и пространствам.

Подсчет клеток привлекает своей простотой, но размерности Минковского не хватает некоторых свойств, желательных с теоретической точки зрения. Немецкий математик Феликс Хаусдорф (1868–1942) из Боннского университета занимался теорией измерений и предложил новое определение размерности. Оно не применяется на практике, но имеет большое теоретическое значение и порой полезно для сравнения размерности некоторых разнородных множеств, которые имеют одинаковую размерность Минковского. В целом размерность Хаусдорфа меньше или равна размерности Минковского.

Кривая дракона

Рассмотрим подробнее последнюю и самую удивительную кривую — так называемую кривую дракона. Впервые она была исследована в 1960 г. тремя физиками NASA — Хайвеем, Бэнксом и Хартером. Она приобрела популярность несколько позднее, когда Мартин Гарднер рассказал о ней в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American. Ввиду того что эту кривую очень просто построить и она обладает удивительными свойствами, ее изучением занялись исследователи из самых разных разделов математики.

Согласно Гарднеру, Хайвей построил эту кривую, сложив пополам полоску бумаги так, как показано на рисунке. Чтобы получить кривую дракона, нужно много раз сложить полоску бумаги в форме буквы «V», а затем развернуть ее так, чтобы все углы в местах сгиба были прямыми.

Первые итерации построения кривой дракона.

_{(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

ДРАКОН ЛЕВИ

Согнуть лист бумаги можно двумя способами: «долиной» и «горкой». При построении кривой дракона лист бумаги всегда сгибается «долиной». Если мы будем сгибать лист обоими способами поочередно, то кривая заметно изменится. Существует 16 способов построения кривой дракона, но лишь пять из них можно назвать основными. Один из них известен под названием кривой Леви. Для построения этой кривой на первом шаге нам понадобится половина квадрата, разрезанного вдоль диагонали.

Размерность Хаусдорфа для кривой Леви равна 2. Это означает, что кривая Леви заполняет плоскость. Однако нетрудно видеть, что кривая покрывает не квадрат, подобно кривой Пеано или Гильберта, а область неправильной формы. Здесь обнаруживается еще одно удивительное свойство этой кривой: размерность ее периметра равняется примерно 1,934.

ФРАКТАЛЫ И МЕДИЦИНА

Лишь недавно в медицине и физиологии начали рассматриваться количественные вероятности хаотической динамики, а традиционные принципы начали ставиться под сомнение. Традиционно считалось, что многие заболевания возникают из-за стрессов, которые нарушают «порядок» в организме: реакция организма сбивается, а ритм работы органов отклоняется от нормального. Однако в последние годы было обнаружено, что ритм работы сердца и других органов может быть в высшей степени неравномерным у молодых и здоровых людей, а старение и заболевания сопровождаются упорядочением ритма.

Тело человека полно фрактальных структур — их можно увидеть в структуре нервной системы, кровеносных сосудов и так далее. Функции этих структур очевидно различаются, но тем не менее они имеют некоторые общие физиологические свойства. Фрактальные сгибы и ветвления позволяют в значительной мере повысить площадь впитывающей поверхности (например, поверхности кишечника), полезной площади кровеносных сосудов, желчных путей, бронхов, нервной системы. Отчасти благодаря избыточности и нерегулярности фрактальные структуры устойчивы к повреждениям. Например, сердце продолжает биться, даже если система, отвечающая за передачу электрических сердечных импульсов, серьезно повреждена. Если прислушаться к тому, как бьется сердце, то мы услышим четкий и равномерный ритм. В состоянии покоя хорошо заметно, что частота пульса неизменна. Однако более тщательный анализ показывает, что сердечный ритм здорового человека даже в состоянии покоя подвержен заметным колебаниям. Если мы изобразим на графике частоту сердечного ритма в течение дня, то результат покажется нам неравномерным и на первый взгляд полностью случайным. Напротив, если представить частоту сердечного ритма на различных временных шкалах, то обнаружится самоподобие.

На двух графиках на следующей странице сравниваются различные показатели работы сердца больного (в верхнем ряду) и здорового человека (в нижнем ряду). На графиках показателей работы сердца больного человека практически отсутствуют колебания. На правом графике сравнивается сердечный ритм в конкретный момент и после определенной временной задержки. Точки графика, отражающего состояние больного человека, расположены очень близко друг к другу. Напротив, показатели здорового человека на всех графиках демонстрируют определенные отклонения в широком диапазоне. Парадоксально, но именно сердце здорового человека демонстрирует хаотичное поведение.