Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [24]

Шрифт
Интервал



Изображение объемного множества Мандельброта, полученное с помощью алгоритма, основанного на кривых потенциала. Высота точки определяется числом итераций, после которых орбита этой точки удаляется от начала координат.



Увеличенное изображение объемного множества Мандельброта вблизи вершины большой кардиоиды. Все множество Мандельброта в таком масштабе по размерам будет сопоставимо с орбитой Юпитера. Оно подобно необозримой вселенной, полной замысловатых узоров, в которой обитают слоны, морские коньки, улитки.



Слева направо и сверху вниз представлена последовательность увеличенных изображений множества Мандельброта. Центр каждого изображения примерно совпадает с центром предыдущего.



Множество Мандельброта и множества Жюлиа, соответствующие различным значениям с, использованным при их построении.



Графическое изображение аттрактора Лоренца. Представлена орбита точки в пространстве, движение которой описывают определенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения моделируют поведение потока жидкости и других схожих процессов. Точка вращается вокруг двух центров, перескакивая с одной орбиты на другую бесконечное множество раз. По словам Джеймса Глейка, это великолепное изображение, подобное рисунку оперения совы или крыльев бабочки, стало символом первых исследователей хаоса.


D = log 4>2/log З>2 = (2log 4)/(2log 3) = 1,2629. Для любой итерации это соотношение будет выполняться при D = 1,2629. Это число называется размерностью подобия и обозначается D>S, в отличие от других фрактальных размерностей. Оно вычисляется по следующей формуле:

D>S = log n / log (1/r).

Мы нашли взаимосвязь между коэффициентом уменьшения r (коэффициентом масштаба) и количеством частей n, на которые делится исходный объект.

Чтобы лучше понять определение размерности подобия, рассмотрим несколько классических математических объектов, обладающих свойством самоподобия. Первым из таких объектов, который был открыт задолго до кривой Пеано (она также обладает свойством самоподобия; ее размерность мы вычислим позднее), было канторово множество. В наши дни Георг Кантор известен прежде всего благодаря своим трудам о бесконечности, в которых, в частности, доказал, что между точками пространства >1 и точками пространства

>2 существует взаимно однозначное соответствие (об этом мы упомянули выше). Канторово множество было описано в 1883 г. За необычный внешний вид его также называют канторовой пылью. Построить его достаточно просто: начнем с единичного отрезка и удалим его среднюю треть, то есть интервал от 1/3 до 2/3. Затем удалим из каждого из двух полученных отрезков его среднюю треть (длиной 1/9), затем удалим среднюю треть (длиной 1/27) у всех четырех полученных отрезков и так далее. Результатом построения и будет канторово множество:



Это множество сложно изобразить, так как оно постепенно «исчезает», но нетрудно представить, как оно будет выглядеть, если мы продолжим процесс построения. Заметим, что если мы уменьшим канторово множество в три раза, то получим его левую часть. Если мы сделаем копию полученного множества и перенесем ее на 2/3 вправо, то получим правую часть канторова множества. Таким образом, канторово множество состоит из двух частей, каждая из которых в три раза меньше целого. По формуле размерности подобия получим:

D>s = log 2 / log 3 ~ 0,6309.

В канторовом множестве отсутствует какая-либо связь между точками, следовательно, его топологическая размерность равна нулю. Как можно видеть, его размерность подобия больше, чем топологическая размерность.

Для кривой Пеано, которая строится из девяти отрезков, n = 9, коэффициент уменьшения равен 1/3. Следовательно, ее размерность подобия равна

D>s = log3 >2/ log 3 = 2.

Двумерным аналогом канторова множества является так называемый ковер Серпинского. Его впервые описал польский математик Вацлав Серпинский в 1916 г. Первые четыре итерации построения ковра Серпинского выглядят так:



Можно сказать, что при построении ковра Серпинского на каждой итерации мы удаляем центральный квадрат полученной фигуры. Ковер Серпинского можно построить и другим способом: для этого нужно удалить центральный отрезок при построении кривой Пеано из девяти отрезков. Так как его можно получить из восьми копий оригинала, уменьшенных в три раза, то его размерность подобия будет равняться log 8/log 3–1,8928. Серпинский показал, что полученная кривая является универсальной, то есть содержит любую кривую, которую можно построить на плоскости. Если мы выполним аналогичное построение, взяв за основу пятиугольник или любой другой правильный многоугольник, то получим бесконечное множество «ковров». Наиболее известный из них, который строится на основе треугольника, — это так называемый треугольник Серпинского, изучением которого также занимался этот польский математик. Этот треугольник тоже можно получить итеративным построением на основе кривой; он имеет топологическую размерность 1 и размерность подобия, равную log 3 / log 2 ~ 1,5850.



Первые итерации построения треугольника Серпинского


Если мы перейдем к трем измерениям и обобщим построение канторова множества для куба, получим еще один удивительный объект — губку Менгера, названную в честь австрийского математика Карла Менгера, который открыл эту фигуру в 1926 г., когда занимался изучением топологической размерности. Это также универсальная кривая, но уже в трехмерном пространстве. Она имеет размерность подобия, равную log 20/log 3 ~ 2,7268, так как ее можно получить из 20 кубиков, каждый из которых в три раза меньше всей фигуры.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.


Том 20. Творчество  в  математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.