Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [27]

Почему кровеносная и другие системы, которыми управляет нервная система, демонстрируют хаотическую динамику? Подобная динамика обладает рядом преимуществ. Хаотические системы способны работать в широком диапазоне условий, следовательно, обладают гибкостью и приспособляемостью. Подобная пластичность позволяет справляться с непредсказуемыми изменениями среды.

* * *

Американский писатель Майкл Крайтон использовал кривую дракона в своем романе «Парк Юрского периода». В начале каждой главы изображена соответствующая итерация кривой дракона с кратким комментарием одного из героев романа Яна Малькольма — математика и специалиста по теории хаоса. В книге рассказывается о клонировании динозавров на основе их ДНК, и кривая дракона служит метафорой этого сложного и нестабильного процесса.

Кривая дракона в заголовках глав «Парка Юрского периода».

Граница этой кривой имеет неправильную форму, но, что удивительно, идеально вписывается в границы других кривых дракона так, что ими можно целиком замостить плоскость. Согнуть лист бумаги можно двумя способами: «долиной» и «горкой». Если мы будем сгибать лист разными способами на каждой итерации, то вид кривой заметно изменится. Существует 16 способов построения кривой дракона, но лишь пять из них являются основными.

В 1958 г. Мандельброт начал работу в научно-исследовательском центре IBM, где занимался анализом шумов и электрических помех. Он обнаружил, что шумы подчиняются определенному образцу: группы колебаний повторялись при разном масштабе наблюдений. Повторяющиеся шаблоны совпадали не полностью, а были статистически подобными. Но несмотря на это, такие колебания все равно нельзя было описать известными методами математической статистики. Мандельброт начал подробнее исследовать это явление, стремясь обнаружить подобные шаблоны, которые нельзя описать методами математической статистики, в других системах. В попытках дать ответ на эти вопросы он разработал методы наблюдений, основанные на самоподобии, и с их помощью открыл фракталы. Мандельброт показал, что эти методы являются очень мощным инструментом для изучения случайных событий в столь различных сферах, как геостатика, экономика, физика и медицина.

В этой главе мы уже увидели, что задолго до Мандельброта изучением фракталов занимались некоторые известные математики. Мир, который описывает геометрия Евклида, ограничивается кубами, конусами и сферами и образован прямыми линиями, плоскими поверхностями и окружностями. Вейерштрасс, Кантор, Пуанкаре, Пеано, Гильберт, Кох, Серпинский и Хаусдорф смотрели дальше и видели неясные очертания другого, удивительного мира — мира текстур, ветвей и расщелин, из которых состояли многочисленные и сложные объекты.

Фигуры, открытые этими математиками, бросали вызов общепринятым определениям. Эти фигуры часто называли математическими монстрами, сравнивали с патологиями и болезнями. Тем не менее революционные работы этих ученых существенно продвинули вперед всю математику в целом.

Глава 3 О далматинцах и драконах. Линейные фракталы

Мать-природа не посещала уроков геометрии и не читала книг Евклида Александрийского. Ее геометрия полна зазубрин, но с собственной логикой, причем такой, которую легко понять.

Нассим Николас Талеб. Черный лебедь

И в шедеврах Эшера, и в других похожих картинах можно увидеть, что повторяемость и самоподобие порождают объекты, противоречащие здравому смыслу, и увлекают зрителя в головокружительную бездну. Мы расскажем, как на основе понятия самоподобия и принципа непрерывности, введенного Лейбницем, формировался фундамент нового раздела геометрии. Философы до сих пор не пришли к единому мнению относительно понятия непрерывности. В математике это понятие изменялось, уточнялось, ему давались различные определения, пока оно не оформилось в окончательном виде. Важность понятия непрерывности в развитии математики очевидна уже потому, что это понятие всегда было одним из самых изучаемых.

Обычно считается, что пространство и время непрерывны. Некоторые философы также утверждают, что непрерывными являются все процессы в природе. Отсюда и знаменитый афоризм Лейбница: Natura non facit saltus («Природа не делает скачков»). В привычном смысле «непрерывный» означает «непрестанный, происходящий без перерывов». В математике, где точность имеет первостепенное значение, путь к точному определению непрерывности был долог и тернист. Даже определение функции долгое время было связано с понятием непрерывности[19].

В терминах современной математики выразить утверждение, похожее на изречение Лейбница, довольно сложно. В последние годы XVIII в. считалось, что для непрерывных функций бесконечно малое изменение аргумента ведет к бесконечно малому изменению значения функции. В XIX в. ученые отказались от понятия «бесконечно малое»[20], и это определение было заменено другим, где использовалось более точное понятие предела.

Если мы скажем, например, что функция не делает скачков, на языке математики это будет недостаточно точно. В попытках дать более точное определение можно прийти к следующему: график непрерывной функции должен быть связным (то есть его нельзя разделить на два открытых множества, пересечение которых будет пустым множеством), однако, возможно, следует сказать, что он должен быть линейно связным