Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [19]
Продемонстрируем эффект Ричардсона, сравнив приближенное значение длины окружности с одной стороны и периметр острова Мальорка — с другой. Пусть окружность имеет диаметр 100 км — это величина одного порядка с диаметром острова. Длина окружности будет в 71 раз больше диаметра, то есть 314,15… км. Поместим результаты на логарифмическую шкалу, чтобы лучше оценить результаты для разных растворов циркуля, которые мы будем применять при измерениях. Отметим на горизонтальной оси логарифм величины, обратной раствору циркуля, что можно интерпретировать как точность измерений: при малом растворе циркуля s точность измерений 1/s будет выше. На вертикальной оси будем отмечать логарифмы от рассчитанных значений периметра.
Для раствора циркуля, эквивалентного 50 км, наилучшим приближением окружности будет шестиугольник со стороной в 50 км и периметром в 300 км. Если в качестве приближения окружности мы выберем 12-угольник со стороной 25,882 км, то приближенное значение ее длины составит 310,584 км, для 24-угольника со стороной 13,053 км — 313,272 км, для 48-угольника со стороной 6,54 км — 313,92 км, для 96-угольника со стороной 3,272 км — 314,112 км и для 192-угольника со стороной 1,636 км снова получим длину, равную 314,112 км. Мы видим, что по мере уменьшения раствора циркуля приближенное значение длины окружности все ближе и ближе к реальному.
Однако при измерении длины побережья Мальорки все иначе. Если в качестве приближения выберем многоугольник со стороной 28 км, получим периметр 362,2 км, для многоугольника со стороной 14 км периметр будет равен 416,7 км, при стороне, равной 7 км, периметр будет равен 467,7 км, при стороне 3,5 км периметр достигнет 524,8 км.
В обоих случаях точки графика с хорошей точностью аппроксимирует прямая. Очевидно, нельзя ожидать, что точки будут лежать точно на одной прямой — это невозможно в силу неизбежной погрешности измерений. В случае с окружностью прямая расположена практически горизонтально; для береговой линии Мальорки прямая имеет наклон (угловой коэффициент d = 0,17). Уравнение прямой можно выразить в виде log l = d∙log (1/s) + k, где l — приближенное значение периметра для раствора циркуля s; d — рассчитанный угловой коэффициент прямой; k — некая постоянная. При переходе к экспоненциальной форме получим:
l = с/s>d,
где с — основание логарифма в степени k.
Заметьте, насколько эта формула похожа на закон Корчака.
Итог работы Ричардсона таков: традиционное понятие длины при измерении береговой линии не имеет смысла. Он предложил использовать новую величину, которую можно назвать «морщинистость», определяемую значением углового коэффициента d из предыдущего примера. Для реальных границ и побережий были получены следующие значения d:
d = 0,25 для западного побережья Британии, одного из самых изрезанных заливами берегов на планете;
d = 0,15 для границы Германии;
d = 0,14 для границы Испании с Португалией;
d = 0,13 для побережья Австралии;
d = 0,02 для южноафриканского побережья, одного из наиболее ровных берегов.
Фрактальные объекты в природе обычно можно увидеть в границах и деревьях.
К границам относятся границы между любыми двумя средами в биологии, физике, химии и так далее, а также между двумя разными поверхностями: границы между странами, берега рек, морские побережья, облака и многое другое.
К деревьям в этом смысле можно отнести все случаи ветвления с самоподобием: деревья, кусты и растения, бассейны рек, молнии и так далее.
Некоторые растения и бассейны некоторых рек при наблюдении с высоты имеют фрактальную структуру.
Кривые, поверхности и объемные тела могут быть столь сложны, что измерение их параметров может вызвать серьезные затруднения. Однако длина, площадь и объем не изменяются произвольно в зависимости от выбранного масштаба, и существуют законы, позволяющие вычислить одну из этих величин, если известна другая. Закон, открытый Ричардсоном (а также открытия Корчака, Ципфа и Херста), согласно которому длина является степенной функцией точности с показателем степени d, будет полезен в обсуждении нового понятия — размерности.
В начале XX в. одной из крупнейших задач математики было определение размерности и ее свойств. Ситуация осложнилась, когда начали появляться различные виды размерности: топологическая, размерность Хаусдорфа, фрактальная, самоподобия и многие другие. Все они связаны между собой, в определенных ситуациях некоторые из них имеют смысл, а другие нет, иногда они совпадают, иногда отличаются. Вопреки тому, что можно было бы ожидать, не следует думать, будто существует некое единственное определение размерности, которое полностью раскрывает смысл этого понятия. Поиски единого приемлемого универсального определения, подобно поискам Святого Грааля, оказались безрезультатны.
Джеральд А. Эдгар в своей книге Measure, Topology and Fractal Geometry («Измерения, топология и фрактальная геометрия») так иллюстрирует понятие размерности:
«Пусть дана точка в трехмерном пространстве. Мы можем заключить ее внутрь куба, словно в тюрьму. Куб образован шестью плоскими гранями. Следует учитывать, что эти грани являются двумерными. Мы можем заключить точку на одной из этих граней в „тюрьму“, нарисовав вокруг нее небольшую окружность. Если грани куба являются двумерными, то нужно понимать, что окружность является одномерной. Точка, которая находится внутри одной из окружностей, может быть заключена в „тюрьму“ с помощью двух точек, которые будут стенами „тюрьмы“. Следует учитывать, что множество, содержащее всего две точки, имеет нулевую размерность. Наконец, точка, которая находится на множестве из двух точек, уже не может двигаться. Чтобы заключить ее в „тюрьму“, не нужно стен. По определению, это множество имеет размерность 0».
