Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [18]
НАСКОЛЬКО ВЕЛИКА СПИРАЛЬ?
Спирали представляют собой класс объектов, которые ставят под сомнение традиционный способ измерения длины. Спиралями интересовались математики всех времен. Так, Архимед написал трактат о спиралях и открыл особый тип спиралей, который был назван в его честь. Архимедова спираль подобна поперечному сечению свернутого ковра, то есть расстояние между ее витками всегда остается постоянным. Спираль Архимеда описывается следующей формулой: r = qφ, где r — координата точки спирали, которая зависит от угла φ поворота центральной оси против часовой стрелки (в радианах), a q — константа, которая при умножении на 2π дает расстояние между последовательными витками спирали. Еще одним видом спирали является логарифмическая, представленная на рисунке ниже:
Для этой спирали произведение константы q на угол φ дает не r, а логарифм r. Швейцарский математик Якоб Бернулли был настолько впечатлен подобием всей спирали и любой ее части (то есть самоподобием), что повелел написать на своем надгробии такие слова: Eadem Mutata Resurgo, что в переводе означает «измененная, я вновь воскресаю». Точнее говоря, свойство, которым восхищался Бернулли, заключается в том, что сжатие или растяжение этой спирали равносильно ее повороту на определенный угол.
Рассмотрим любопытный пример двух многоугольных спиралей, подобных тем, что показаны на рисунке выше. Справа изображена бесконечная спираль. В ней каждая сторона относится к предыдущей как 1/q. Сумма длин всех сторон равна сумме ряда 1 + 1/q + 1/q>2 + 1/q>3 +…, равной q/(q — 1). Следовательно, эта спираль имеет конечную длину. Например, если мы выберем q = 1,05, сумма (то есть длина всех сторон) будет равняться 21.
Спираль слева построена по иному, но тоже очень простому правилу: большая сторона спирали равна 1, следующая — 1/2, следующая — 1/3, затем 1/4 и так далее. Известно, что этот ряд не сходится, то есть спираль на рисунке слева имеет бесконечную длину, а спираль на рисунке справа — конечную длину. Можно ли было предположить что-то подобное?
* * *
На основе графиков Ричардсон попытался выяснить причину столь заметных различий, которые могут достигать 20 %. Его объяснение столь же удивительно, сколь и очевидно: единица измерения, используемая одной страной, может быть намного меньше, чем единица измерения, применяемая в другой стране. В чем же заключались эксперименты Ричардсона? Допустим, мы фиксируем раствор циркуля, равный 10 см. Затем мы с помощью циркуля по карте измеряем протяженность береговой линии, непрерывно отсчитывая ее длину. Полученное значение является лишь приближенным, так как береговая линия на карте имеет выпуклости и вогнутости размерами меньше 10 см. Затем уменьшим раствор циркуля и установим его равным 1 см, после чего повторим измерения. Очевидно, что в этот раз результат измерений будет больше, так как ломаная линия, прочерченная циркулем, будет точнее соответствовать береговой линии. Здравый смысл подсказывает, что эти значения сходятся к некоторому конечному числу, которое и будет истинной длиной побережья или границы. Однако Ричардсон показал, что результат измерений будет бесконечно возрастать по мере уменьшения единицы измерения и увеличения масштаба карты. Этот удивительный факт известен под названием «эффект Ричардсона».
Приближенные вычисления длины береговой линии острова Мальорка, выполненные с различной точностью. Измерения слева производились отрезком большей длины, чем на иллюстрации справа. Нетрудно видеть, что точность измерения на рисунке справа выше. Удивительно, но в соответствии с эффектом Ричардсона с ростом точности пределом измерений будет не истинная длина береговой линии, а бесконечность.
В свое время научное сообщество проигнорировало исследования Ричардсона, однако сегодня они считаются крайне важными, так как дали толчок к изучению фракталов. Бенуа Мандельброт цитирует Ричардсона в известной статье 1967 г. под названием «Какова длина побережья Великобритании?». В этой статье Мандельброт объясняет, что понятие длины для объектов неправильной формы, например для побережья, не имеет смысла. Как следствие, математики определили число, которое являлось бы количественной оценкой площади подобных объектов неправильной формы. Это число — экстраполяция числа «привычных» измерений объектов классической геометрии (одно, два, три измерения и так далее). Следовательно, «неевклидовы» объекты неправильной формы подобного типа часто имеют дробное число измерений.
Геометрия Евклида, в которой число измерений может быть только целым, не отражает всей сути фигур неправильной формы. Эксперимент Ричардсона равносилен вычислению длины в разных масштабах. Если мы измерим длину побережья из космоса, то полученный результат будет меньше, чем если мы, подобно муравью, пройдем вдоль всего побережья, считая каждую песчинку.
Рассмотрим в качестве примера клубок ниток. Издалека он кажется точкой, иными словами, фигурой с нулем измерений. Если наблюдатель подойдет ближе, то увидит, что клубок напоминает сферу, то есть имеет три измерения. Если он еще приблизится, то увидит, что в клубок свернута одна нить; таким образом, клубок будет иметь всего одно измерение. Когда наблюдатель приблизится настолько, что сможет рассмотреть структуру нити, то клубок снова станет трехмерным, поскольку станут видны отдельные волокна, из которых состоит нить. Подобный процесс можно продолжать и далее. Таким образом, очевидно, что о числе измерений клубка ниток нельзя говорить объективно: все зависит от положения наблюдателя, то есть от масштаба наблюдений.
