Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [16]
Серия фотографий Things are Queer Дуэйна Майклса.
Художник Мауриц Эшер, голландец (вспомним, что знаменитая этикетка с упаковки какао была также нарисована в Голландии), использует этот же эффект Дросте в своем шедевре «Галерея гравюр». Эту связь подтверждает и сам Эшер: «Юноша слева смотрит на гравюру, на которой изображен он сам». Но мы никак не можем это проверить, потому что именно в том месте, куда обращен взгляд юноши, находится подпись художника на белом круге. Это слепое пятно всегда было загадкой. Сам Эшер говорил, что «там все настолько детально, что продолжать было бы невозможно». Какую загадку скрывает этот ореол? Что мы увидели бы, если бы Эшер продолжил рисовать в соответствии с общим сюжетом гравюры? Говоря о сюжете, мы имеем в виду сеть линий, которые соответствуют горизонталям и вертикалям на рисунке без деформаций. Например, эту сеть частично формируют линии, образующие «вертикальные» и «горизонтальные» стороны картин и окон.
То, что на самом деле находится за первой аркой, стало известно лишь в 2000 г., когда Хендрик Ленстра, соотечественник Эшера, проанализировал эту сетку линий. Сначала он восстановил «Галерею гравюр» без искажений, и в центре картины появился пустой участок в форме бесконечной спирали. Затем он заполнил этот участок на основе имеющихся частей картины.
Слева — «Галерея гравюр», справа — ее неискаженное изображение.
>(Источник: Notices of the AMS, том 50, номер 4.)
Бруно Эрнст, изучавший картину Эшера, так описывает последовательность увеличенных изображений неискаженной картины: «Юноша смотрит на гравюры Эшера в галерее искусств, и его взгляд падает на гравюру, очень похожую на гравюру „Сенгела, Мальта“ 1935 года. Юноша внимательно смотрит в верхний правый угол, где можно увидеть часть полуострова Сенгела. Там он замечает строение с навесом, очень похожее на галерею искусств, куда он только что вошел. Если мы уделим пристальное внимание деталям, то увидим, что в галерее представлены работы Эшера, и даже можно увидеть юношу, который рассматривает гравюру с тем же видом Мальты».
Последовательное увеличение неискаженного рисунка.
>(Источник: «Эффект Дросте и „Галерея гравюр“ Эшера», Бруно Эрнст.)
На основе математического описания сетки линий и выпрямленного рисунка Ленстра создал компьютерную программу, с помощью которой узнал, что же находится внутри таинственного ореола, и пошел дальше, чем Эшер… до бесконечности. Слепое пятно исчезло, и оказалось, что в центре «исправленной» версии «Галереи гравюр» вся картина повторяется бесконечное число раз. Любопытнее всего то, что сетку линий до самого центра можно было продолжить, даже не располагая исходным изображением внутри спирали.
Увеличенное изображение центральной части полной версии литографии.
>(Источник: «ЭффектДросте и „Галерея гравюр“ Эшера», Бруно Эрнст.)
Эшер был прав, когда говорил, что заполнить центральный круг невозможно, так как нужно работать с бесконечно большой точностью. Однако с помощью анимации можно передать всю информацию, которая содержится на картине.
То, как Эшер манипулировал пространством, делая это интуитивно, руководствуясь эстетическими принципами, необычно для мира искусства. Он использовал отражения, растяжения, деформации, проекции и другие аналогичные преобразования, с помощью которых скрывал в своих произведениях новые сложные миры.
Название этого раздела «Вселенная внутри круга» содержит отсылку к шедевру «Галерея гравюр», в центральном круге которого вся картина повторяется снова и снова, закручиваясь в бесконечную спираль. Оно также говорит о группе базовых элементов, которые использовал Эшер для бесконечного замощения центральной круговой области картины.
Фактически все картины Эшера можно разделить на три типа. На картинах первого типа изображены пейзажи и сцены из повседневной жизни, представленные с необычных ракурсов. На картинах второго типа мы видим невозможные фигуры и сооружения. К третьему типу относятся гравюры, на которых вся плоскость или ее часть раскалывается на части.
Покрытие поверхности мозаикой, в основе которой лежит цикличность и различные виды симметрии, создает ощущение бесконечности. Эшер упорно хотел изобразить бесконечность и был недоволен тем, что холст картины ограничивает его в этом. Он искал способ изобразить бесконечность в конечном пространстве и с этой целью начал создавать фигуры, покрытые сетчатым узором из кругов и квадратов.
Он стал рисовать серии повторяющихся фигур, вложенных одна в другую, начиная с края круглого или квадратного холста. По мере приближения к центру фигуры уменьшались в размерах. Тем не менее похоже, что и этим приемом он остался недоволен.
В 1958 г. он ознакомился со статьей британского ученого Гарольда Коксетера под названием Cristal Symmetry and Its Generalizations («Симметрия кристаллов и ее обобщения»), где описывался оригинальный способ укладки плиток, который вдохновил Эшера на новые поиски. Речь шла о разбиении круга на треугольники так, что их число возрастало по мере приближения к краю.
Этим рисунком Коксетер иллюстрировал модель неевклидова метрического пространства, называемого диск Пуанкаре. Диск Пуанкаре является моделью геометрии Лобачевского, в которой через одну точку можно провести несколько прямых, параллельных данной, о чем мы рассказывали в прошлой главе.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.