Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - [15]
На этой пачке какао изображена медицинская сестра с подносом в руках, на котором находятся два предмета. Они привлекают наше внимание как раз потому, что на них снова изображена та же медсестра в той же позе и так далее, пока наши глаза способны различить мельчайшие детали. Если бы мы каким-то образом попали на одну из этих этикеток, то смогли бы увидеть всё так, как будто бы находились снаружи. Мы могли бы узнать, на какой этикетке находимся, только если бы наше тело не изменилось в размерах.
Здесь речь идет о частичном самоподобии. Это свойство называется самоподобием, так как малые изображения подобны большому, и частичным, поскольку большое изображение не состоит исключительно из повторяющихся малых. Для полного самоподобия необходимо, чтобы при увеличении любой части изображения его покрывало множество копий одного и того же портрета медсестры.
Рекурсивное изображение на этой упаковке какао дало название эффекту Дросте.
Рассмотрим известный рисунок, на котором большая рыба съедает маленькую. На первый взгляд кажется, что здесь мы имеем дело с тем же видом самоподобия, что и на упаковке какао: на рисунке изображено бесконечное множество маленьких рыб, каждая из которых хочет съесть еще более мелкую. Однако если мы увеличим любую часть изображения, то увидим, что на каждой чешуйке каждой рыбы также изображено множество крошечных рыбок, которые гонятся друг за другом. Здесь речь идет о полном самоподобии, которое обеспечивается за счет применения 11 различных функций. Каждая функция превращает большую фигуру в другую, меньшего размера, повернутую и (или) смещенную, которая затем помещается на общее изображение. Таким образом, на первом шаге поверх большой рыбы помещается одиннадцать более мелких изображений. Подобные функции можно применять до бесконечности, и в результате все изображение будет представлять собой коллаж.
Функции этого типа описал Барнсли, который доказал так называемую теорему коллажа. Позднее мы подробно расскажем о том, как создаются подобные функции, и узнаем, как благодаря теореме работает этот метод построения фигур.
Первая итерация изображения, на котором большая рыба съедает маленькую.
Третья итерация этого же изображения.
Финальная итерация.
>(Источник иллюстраций: Мария Изабель Бинимелис и Лаура Элизабет Виолант.)
По всей видимости, первые представления о рекурсивности и самоподобии появились в XVII веке благодаря разностороннему немецкому мыслителю Готфриду Вильгельму Лейбницу. Он упоминает схожие понятия как минимум дважды. Лейбниц так объяснил другу задачу об укладке фигур: «Представь себе круг, в который вписаны три равные окружности наибольшего радиуса. Последние могут содержать в себе три вписанных окружности каждая и так далее». Здесь также виден интерес Лейбница к задачам упаковки фигур, которые неизменно сохраняли популярность благодаря своему широкому применению.
Возможно, самой известной из подобных задач является гипотеза, предложенная Кеплером. Она гласит, что оптимальной укладкой пушечных ядер (такой, при которой они занимают минимально возможный объем) является пирамида, подобная тем, что выстраивают на прилавках торговцы фруктами. Эта на первый взгляд простая гипотеза была полностью доказана лишь в 2005 г. с помощью компьютера. Большая часть задач об упаковке берет начало в физике и биологии, применяется множеством способов в кристаллографии, при изучении структуры аморфных материалов и коллоидных растворов. Даже задача об оптимальной передаче цифровых сигналов может быть изложена как вариант задачи об упаковке сфер — так называемой задаче о контактном числе.
Во втором случае Лейбниц сказал, что капля воды содержит целую вселенную, которая, в свою очередь, также содержит более мелкие капли воды, каждая из которых вновь содержит в себе вселенную и так далее. Однако эта идея и многие другие, схожие с ней, со временем были отвергнуты, так как их нельзя было подтвердить экспериментально. Сегодня мы можем констатировать, что подобные рассуждения не столь нелепы, как может показаться. Было высказано множество идей о схожести модели атома Нильса Бора, где вокруг ядра по орбитам вращаются электроны, с законами вращения планет Кеплера. Здесь также прослеживается связь между микрокосмосом и макрокосмосом. Хотя нам известно, что эти модели совпадают не полностью, не стоит быть уверенным в том, что современные модели наилучшим образом отражают реальность. Возможно, что идеальной модели не существует, и мы будем вынуждены вечно довольствоваться лишь все более и более точными приближенными моделями.
Оставим в стороне эти метафизические вопросы и добавим, что сегодня известно множество объектов, которые содержат сами себя. Некоторые были описаны в теории, другие встречаются в природе. Самоподобием обладает множество событий и явлений, что будет показано в следующих главах. Хотя обнаружить самоподобные предметы несложно, практически не существует автоматизированной процедуры генерации рекурсивных функций, которые бы описывали подобные предметы.
Тот факт, что самоподобие и рекурсивные или итеративные события столь тесно связаны, может вызвать в нас странное чувство. Его попробовал выразить американский художник Дуэйн Майкл в своей серии фотографий Things are Queer («Странные вещи»). Человеческий разум притягивают бесконечные процессы. Они толкают нас на эксперименты с бесконечностью — недостижимой и влекущей. Возможно, подсознательно, а быть может, и нет, в этих поисках художники предлагают нашему вниманию столько же, сколько и ученые.
