Математическое мышление - [12]
На семинарах Кэрол Дуэк часто говорит родителям, чтобы те донесли до своих детей такую мысль: в правильном выполнении задания нет ничего хорошего, поскольку это свидетельствует об отсутствии обучения. И если дети приходят домой и говорят, что правильно ответили на все вопросы во время урока или теста, родителям стоит реагировать так: «Жаль: выходит, у тебя не было возможности чему-то научиться». Это весьма резкий отклик, но важный: нужно вытеснить идею, которую часто внушают в школе: «Надо делать все правильно, отсутствие ошибок — признак ума». Мы с Кэрол пытаемся изменить видение учителей, чтобы они придавали правильному выполнению заданий меньшее значение, и большее — важности ошибок.
Сэнди Гиллиам — замечательная учительница, за которой я наблюдала много лет. Ее ученики добиваются серьезных успехов и любят математику. Однажды я присутствовала на первом занятии, которое она проводила для учеников старших классов. Когда те работали над заданием, Сэнди заметила, что один ученик сделал ошибку и понял это. Она подошла к мальчику и попросила его показать свою ошибку на доске. Он неуверенно посмотрел на учительницу и сказал: «Но я же получил неправильный ответ». Сэнди ответила, что именно поэтому она хочет, чтобы ученик поделился своим результатом, и это очень полезно. Ведь такую же ошибку могут сделать и другие, поэтому стоит обсудить ее всем классом. Мальчик согласился и записал свой ход мыслей на доске. Со временем рассказы о своих ошибках стали для учеников обычной практикой. Я часто показываю видео с учениками Сэнди, которое помогает учителям и директорам школ понять, чего могут добиться дети при эффективном преподавании математики.
На одном из моих любимых видео показано, как ученики Сэнди пытаются вместе решить на доске сложную задачу. Ученики напряженно работают над решением и слушают друг друга, когда кто-то из них предлагает идею. Они часто ошибаются и выбирают неверный путь, но в итоге общими усилиями добиваются результата. Это яркий пример того, как ученики используют стандартные математические методы и практические задания (в соответствии с рекомендациями CCSS[8]). Они объединяют свои идеи с известными им методами, чтобы решить нестандартную прикладную задачу из тех, с которыми им предстоит столкнуться в реальном мире. Опытные учителя, которые смотрят это видео, часто отмечают, что ученики чувствуют себя комфортно, предлагая различные идеи, и не боятся ошибиться. И вот почему дети способны эффективно выполнять задания, когда им не мешает страх перед ошибками: Сэнди научила их принимать ошибки и подчеркивает их важность в обучении.
Недавно я работала в Стэнфорде над одним исследованием вместе с Кэрол Дуэк, Грегом Уолтоном, Кариссой Ромеро и Дэйвом Паунеску. Именно они предложили множество приемов, которые улучшают мышление учеников и усиливают их чувство принадлежности к школе[9]. В ходе исследования мы провели сеанс воздействия на мышление учителей, объяснив им значение ошибок и ряд идей по поводу преподавания, о которых идет речь в данной главе. Мы быстро выяснили, что у учителей, которые были подвергнуты воздействию, гораздо более развито мышление роста и более положительное отношение к ошибкам в математике. Вдобавок они сообщили о том, что используют во время уроков разные идеи по поводу поощрения ошибок. Есть и другие важные изменения, которые учителя могут внести в свои уроки; они рассмотрены в следующих главах. Пока хочу отметить, что одно из самых важных изменений, которое могут без труда внедрить учителя или родители (и оно принесет ученикам огромную пользу), — корректировка обратной связи об ошибках. В следующей главе я расскажу, как важно изменить сам подход к математике. Необходимо показать ученикам, что истинная математика — не нечто неизменное и основанное на процедурах; это открытый и творческий предмет, суть которого сводится к установлению связей, обучению и развитию.
Глава 3. Творчество и красота в математике
Что же такое математика на самом деле? И почему многие ученики либо ненавидят, либо боятся ее — а то и всё вместе? Математика отличается от других предметов не тем, что в ней, как утверждают многие, могут быть только правильные или неправильные ответы, а тем, что методы ее преподавания отличаются от методов преподавания других предметов и у многих есть предубеждение к ней. Если вы спросите учеников, что они думают о своей задаче на уроках математики, большинство скажут: правильно отвечать на вопросы. Немногие считают, что на уроках математики они могут оценить ее красоту, задать глубокие вопросы, изучать богатый набор связей, которые описывает эта дисциплина, или даже научиться применять ее на практике. Как правило, ученики считают, что на уроках математики они должны только добиваться требуемого результата. Так, шестилетний сын одной из моих коллег (ее зовут Рейчел Ламберт) как-то, придя из школы, заявил, что не любит математику. Когда Рейчел спросила, в чем причина, он ответил: «На уроках мы только отвечаем на вопросы и мало учимся». Вот что чувствуют сами дети с раннего возраста.
Профессор Стэнфорда Джо Боулер опровергает расхожие мифы о врожденных способностях, предопределяющих наш жизненный путь, и раскрывает шесть ключей безграничного потенциала, благодаря которым наш мозг будет развиваться и обновляться каждый день.
«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни. В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.
Хотя в природе всегда существовали объекты с неравномерной и даже хаотичной структурой, ученые долгое время не могли описать их строение математическим языком. Понятие фракталов появилось несколько десятков лет назад. Именно тогда стало ясно, что облака, деревья, молнии, сталактиты и даже павлиний хвост можно структурировать с помощью фрактальной геометрии. Более того, мы сами в состоянии создавать фракталы! В результате последовательного возведения числа в квадрат появляется удивительное по красоте и сложности изображение, которое содержит в себе новый мир…
Монография по теории расчета нефтяных аппаратов (оболочек корпусов). Рассмотрены трехмерная и осесимметричная задачи теории упругости, реализация расчета методом конечных элементов. Написана для обмена опытом между специалистами. Предназначается для специалистов по разработке конструкций нефтяного статического оборудования (емкостей, колонн и др.) проектных институтов, научно-исследовательских институтов, заводов нефтяного машиностроения, инжиниринговых компаний, профессорско-преподавательского состава технических университетов.
Всем известно, что существуют тройки натуральных чисел, верных для Теоремы Пифагора. Но эти числа в основном находили методом подбора. И если доказать, что есть некий алгоритм нахождения этих троек чисел, то возможно утверждение о том, что 10 проблема Гильберта неразрешима ошибочно..
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств.