Математический аппарат инженера - [35]
Номера столбцов определяются расположенными над ними n-разрядными числами с основанием k, каждое из которых читается сверху вниз. Номера функций отождествляются с k>n-разрядными числами, которые соответствуют строкам матрицы в той же системе счисления.
4. Двузначные однородные функции. Наиболее простым и в то же время важнейшим классом однородных функций являются двузначные (булевы) функции, частично рассмотренные в (1.5. 2) и последующих пунктах.
- 506 -
Областью определения булевых функций от n переменных служит множество слов длины n. Они представляют собой всевозможные наборы из n двоичных цифр и их общее количество равно 2>n.
Число всевозможных булевых функций n переменных v = 2>nбыстро возрастает с увеличением n (при n = 3 оно равно 256, а при n = 5 превышает 4 миллиарда). Но функции одной и двух переменных еще можно перечислить и подробно исследовать, так как их количество сравнительно невелико (v = 4 при п = 1 и v = 16 при n = 2).
Булевы функции одной переменной. Общая таблица соответствия для булевых функций одной переменной имеет вид (справа указаны обозначения функций):
x | | | 0 | 1 | | | y |
--- | | | --- | --- | | | --- |
y>0 | | | 0 | 0 | | | 0 |
y>1 | | | 0 | 1 | | | x |
y>2 | | | 1 | 0 | | | x̅ |
y>3 | | | 1 | 1 | | | 1 |
Две функции у>0 = 0 и у>3 = 1 представляют собой функции-константы (тождественный нуль и тождественная единица), таккакони не изменяют своих значений при изменении аргумента. Функция y>1 = х повторяет значения переменной х и потому просто совпадает с ней.
Единственной нетривиальной функцией является у>2 = x̅ , называемая отрицанием или инверсией ( x̅ читается «не х»). Она равна 1, когда аргумент принимает значение 0, и равна 0 при аргументе 1.
- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -
- Продолжение следует... -
...
2. Алгебра логики
3. Контактные схемы
4. Логические схемы
5. Минимизация булевых функций
6. Конечные автоматы
1. Основные определения. В контактных и логических схемах значения выходных переменных определяются только комбинацией значений переменных на входах в данный момент времени. Поэтому их называют комбинационными схемами. В более общем случае выходные переменные могут зависеть от значении входных переменных не только в данный момент, но и от их предыдущих значений. Иначе говоря, значения выходных переменных определяются последовательностью значений входных переменных, в связи, с чем схемы с такими свойствами называют последовательностными. Если входные и выходные переменные принимают значения из конечных алфавитов, то оба типа схем объединяются под названием конечные автоматы.
Пусть X>i - алфавит входной переменной х>i, а Y>i – алфавит выходной переменной y>i. Конечный автомат с n входами и m выходами характеризуется входным алфавитом Х = Х>1 × Х>2 × ... Х>nи выходным алфавитом Y = Y>1 × Y>2 × ... Y>m, причем символами входного алфавита служат слова x = (x>1, x>2, …, x>n) длины n, а символами выходного алфавита - слова y = (y>1, y>2, …, y>m) длины m, где x>i∈ X>iи y>i∈ Y>i. Особого внимания заслуживают конечные автоматы с двузначным структурным алфавитом, зависимости между входными и выходными переменными которых выражаются булевыми санкциями. Их значение обусловлено тем, что любая информация может быть представлена в двоичных кодах (двоично-десятичные коды чисел, телетайпный код в технике
- 564 -
связи и т.п.). В то же время при технической реализации автоматов используются преимущественно двоичные элементы и двузначная логика.
В реальных условиях сигналы представляются непрерывными функциями времени, поэтому для надежного различения сигналов требуется, чтобы новые значения на входах появлялись после окончания переходных процессов, связанных с предыдущими значениями. При рассмотрении логической структуры автоматов обычно отвлекаются от существа этих процессов и считают, что переменные изменяются не непрерывно, а мгновенно в некоторые моменты времени, называемые тактами. Интервалы между тактами могут быть различными, но без потери общности их можно считать равными Δt . Предполагается, что тактовые моменты t>ν + 1 =t>ν + Δt определяются синхронизирующими сигналами. Таким образом, вводится понятие дискретного автоматного времени t>n(n = 1, 2, ...), причем переменные зависят не от физического времени, а от номера такта ν, т. е. вместо непрерывных функций x(t) рассматриваются дискретные значения х(ν).
2. Состояния. Кроме входных и выходных переменных, можно выделить некоторую совокупность промежуточных переменных, которые связаны с внутренней структурой автомата. В комбинационных схемах промежуточные переменные непосредственно не участвуют в соотношениях вход - выход. Напротив, выходные функции последовательностных схем в качестве своих аргументов, кроме входных переменных, обязательно содержат некоторую совокупность промежуточных переменных s
