Математический аппарат инженера - [37]
Для комбинационных схем функция перехода не имеет смысла, а функция выходов вырождается к виду y(ν) = λ (x(ν)). Их называют автоматами без памяти или тривиальными автоматами.
4. Представления конечных автоматов. Автомат может быть задан различными способами, например, путем словесного описания его функционирования или перечислением элементов множеств X, Y, S, с указанием отношений между ними. При анализе и синтезе конечных автоматов используются стандартные формы представления: таблицы, графы и матрицы. Элементы множеств X, Y, S удобно пронумеровать порядковыми числами, начиная с нуля, например: Х = {0, 1, 2, 3}, Y = {0, 1} и S = {0, 1, 2, 3}. Тогда характеристические функции δ и λ можно представить двумя
- 567 -
таблицами, строки которых соответствуют состояниям, а столбцы - входам. Первая таблица, называемая таблицей переходов, соответствует функции s(ν + 1) = δ (x(ν), s(ν)), и ее клетки заполняются номерами состояний s(ν + 1), в которые переходит автомат при
воздействии х(ν), и состоянию s(ν) в данный тактовый момент. Вторая таблица, называемая таблицей выходов, соответствует функции у(ν) = λ (x(ν), s(ν)), и ее клетки заполняются номерами выходов y(ν) в данный тактовый момент, которые соответствуют воздействию x(ν) и состоянию s(ν) в тот же момент. Например, для заданных множеств X, Y, S такие таблицы могут иметь вид:
 |  |
Обе таблицы можно объединить в общую таблицу переходов, если условиться записывать в клетках пары чисел (номер следующего состояния в числителе и номер выхода в знаменателе), т.е.
Граф автомата строится таким образом, что его вершины соответствуют состояниям, а направленные дуги обозначаются как дизъюнкции входов, под воздействием которых совершается переход из одного состояния в другое по направлению дуги. В знаменателях записываются номера выходов, соответствующие этим переходам.
На рис. 236 показан граф, построенный в соответствии с приведенной выше общей таблицей переходов. Так как из состояния 0 автомат переходит в состояния 1, 2 и 3, то из вершины О графа исходят дуги в вершины 1, 2 и 3. При этом переход в состояние 1 совершается под воздействием 2 нему соответствует выход 0,
- 568 -
поэтому дуга из вершины 0 в 1 помечается как 2/0. Переход в состояние 2 совершается под воздействием 1 и ему соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 2 помечается как 1/0. Переходы в состояние 3 совершаются под воздействиями 0 и 3 и им обоим соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 3 помечается как дизъюнкция 0/0 Ú 3/0. Аналогично определяются и другие дуги графа. Петли соответствуют переходам, при которых состояния не изменяются. Так, рассматриваемый автомат переходит из состояния 2 в 2 под воздействиями 1 и 2, которым соответствуют выводы 0 и 1. Следовательно, петля при вершине 2 помечается как дизъюнкция 1/0 Ú 2/1.
Рис. 236. Граф конечного автомата.
Матрица соединения автомата М (или матрица переходов) представляет собой квадратную таблицу в которой номера строк и столбцов соответствуют номерам состояний. Клетка матрицы на пересечении i-й строки и j-го столбца заполняется дизъюнкцией пар «вход — выход», которая приписана дуге графа исходящей из i-й в j-ю вершину. При отсутствии такой ветви клетка заполняется нулем или остается свободной. Так для рассматриваемого примера имеем:
5. Анализ конечных автоматов. Полное описание поведения автомата заключается в определении последовательности выходных сигналов при возбуждении его в тактовые моменты времени некоторой последовательностью входных сигналов. Входная и выходная последовательности представляются наборами символов (или их номеров) из алфавитов Х и Y одинаковой длины l. Для такого описания, кроме характеристических функций, необходимо определить или задать начальное состояние автомата.
Наиболее удобно определять реакцию автомата на входною последовательность по его графу. Для этого достаточно проследить
- 569 -
путь в графе, начиная от вершины начального состояния, по направлению дуг, которые отмечены очередными номерами на входной последовательности. Выходная последовательность определяется номерами, которыми отмечены дуги в порядке их следования по пройденному пути, а последовательность состоянии автомата номерами вершин, через которые проходит этот путь.
Так, из графа на рис. 236 для входной последовательности (2, 0, 1, 1, 2, 3) и начального состояния 0 имеем выходную последовательность (0, 1, 0, 0, 1, 1) и смену состояний автомата (1, 3, 0, 2, 2, 3). При начальном состоянии 2 и той же входной последовательности получаем соответственно (1, 1, 0, 0, 1, 1) и (2, 3, 0, 2. 2, 3).
С помощью графа автомата легко выделить следующие характерные типы его состояний:
1) преходящее состояние, из которого можно перейти, но крайней мере, в одно другое состояние, но после этого уже нельзя возвратиться в него ни при каком воздействии (соответствующая вершина не имеет заходящих дуг, но имеет хотя бы одну исходящею дугу);
2)
