Математический аппарат инженера - [33]

Шрифт
Интервал

- 82 -


Таблица 1

Основные свойства операций над множествами

1 а) A ∪ B = B ∪ A

1 б) A ∩ B = B ∩ A

2 а) A ∪ (B∪ C)=(A∪ B)∪ C

2 б) A ∩ (B∩ C)=(A∩ B)∩ C

3 а) A∪ (B∩ C)=(A∪ B) ∩ (A∪ C)

3 б) A∩ (B∪ C)=(A∩ B) ∪ (A∩ C)

4 а) A ∪ ∅ = A

4б) A ∩ U = A

5 а) A ∪ A̅ = U

5 б) A ∩ A̅ = ∅

6а) A ∪ U = U

6 б) A ∩ ∅ = ∅

7 а) ∅̅ = U

7 б) U̅ = ∅

8а) A ∪ A = A

8 б) A ∩ A = A

9 а) A ∪ (A ∩ B) = A

9 б) A ∩ (A ∪ B) = A

10 а)


10 б)



11) если A ∪ B =U и A ∩ B = ∅, то B = A̅

12) A̅ = U \ A

13) A̿ = A

14) A \ B = A ∩ B̅

15) A + B = (A ∩ B̅) ∪ (A̅ ∩ B)

16) A + B = B + A

17) (A + B) + C = A + (B + C)

18) A + ∅ = ∅ + A = A

19) A ⊂ B, если и только если A ∩ B = A или A ∪ B = B или A ∩ B̅ = ∅

20) A = B, если и только если (A ∩ B̅ ) ∪ (A̅ ∩ B ) = ∅


Соотношения (11)-(20) отражают свойства дополнения, разности, дизъюнктивной суммы, включения равенства.

2. Принцип двойственности. Первые десять свойств в табл. 1 представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: ∪ на ∩ и ∩ на ∪, а также ∅ на U и U на ∅. Соответствующие пары символов ∪, ∩ и ∅, U называются двойственными (дуальными) символами.

При замене в любой теореме входящих в нее символов дуальными получим новое предложение, которое также является теоремой (принцип двойственности или дуальности). Тождества (11) и (12) не изменяются при замене символов дуальными, поэтому их называют самодвойственными.

Принцип дуальности можно распространить на разность и дизьюктивную сумму, если использовать тождества (14) и (15). Аналогично


- 87 -


в соответствии ...........

- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -

- Продолжение следует... -

- Содержание продолжения -

...

2. Отношения

3. Отображения и функции

4. Отношение эквивалентности

5. Отношение порядка

6. Отношение толерантности

7. Законы композиции

8. Примеры алгебраических систем

9. Пространства

10. Комбинаторика

Список литературы

Глава 3. Матрицы

1. Действия над матрицами

2. Определители

3. Обращение матриц

4. Линейные уравнения

5. Дифференциальные уравнения

6. Функции от матриц

7. Матричные преобразования

8. Пространство переменных состояния

Список литературы

Глава 4. Графы

1. Деревья

2. Анатомия графов

3. Полюсные графы

4. Многополюсные компоненты

5. Системы координат

6. Неоднородный координатный базис

7. Сокращенный координатный базис

Список литературы

Глава 5

Логика

Одной из основных задач математической логики является анализ оснований математики. Но в настоящее время она уже вышла из рамок этой задачи и оказала существенное влияние на развитие самой математики. Из ее идей возникло точное определение понятия алгоритма, что позволило решать многие вопросы, которые без этого остались бы в принципе неразрешенными. Возникший в математической логике аппарат нашел приложение в вопросах конструкций вычислительных машин и автоматических устройств.

П.С. Новиков

В начале этой главы излагаются основные положения, относящиеся к логическим функциям. Подробно исследуются булевы функции двух переменных, зависимости между ними и методы построения функционально полных систем. Наряду с булевой алгеброй, рассматривается алгебра Жегалкина, что позволяет глубже проникнуть в структуру логических функций.

Аппарат математической логики в значительной степени сложился под влиянием прикладных проблем, в рамках которых развились его специфические особенности. Пробным камнем среди технических приложений была задача анализа и синтеза контактных схем. Успехи в этой области послужили стимулом для использования аппарата математической логики и в других областях.

Триумфом сотрудничества математики и техники явилось создание вычислительных машин с программным управлением. К тому времени, когда электроника, магнитная техника и электромеханика смогли предложит эффективные методы построения логических элементов и устройств преобразования информации, математическая логика уже располагала в общих чертах аппаратом для проектирования схем, реализующих сложные логические функции.

Дальнейшие обобщения привели к развитию теории автоматов, основной задачей которой является математическое моделирование физических или абстрактных процессов, технических устройств и некоторых сторон поведения живых организмов. Автоматы используются в качестве универсальной модели в самых разнообразных областях, в том числе и при проектировании вычислительных машин.

При рассмотрении конечных автоматов, контактных и логических схем используются различные способы представления логических функций: многомерные кубы, карты Карно, символика s-кубов. На основе таких представлений излагаются основные методы мини


- 503 -


мизации булевых функций и их применение к синтезу контактных и логических схем.

В последнее время, наряду с двоичными функциональными элементами, разработаны и находят практическое применение многозначные элементы, характеризующиеся рядом положительных особенностей. В связи с этим сильно возросло значение многозначной логики, изложению основных положений которой посвящен специальный параграф. Там же кратко представлены другие логики, развившейся в связи с техническими и биологическими проблемами: пороговая, мажоритарная, нейронная, потенциально-импульсная и фазоимпульсная.

Продолжить чтение
Рекомендуем почитать
Подземоход

Из журнала «Техника - Молодежи» №12, 1955 г.

"Наутилусы" наших дней

Очерк преподавателя Военно-морской академии Алексея Травиничева, в котором сравнивается "Наутилус" Жюля Верна с реальными подводными судами начала ХХ века. Помимо оценки эффективности действия подводных лодок в реальных боевых ситуациях и тактико-технических характеристик новейших субмарин, оценивается их возможное применение для научно-исследовательской работы в океане…

Материалы для ювелирных изделий

Рассмотрены основные металлические материалы, которые применяются в ювелирной технике, их структура и свойства. Подробно изложены литейные свойства сплавов и приведены особенности плавки драгоценных металлов и сплавов. Описаны драгоценные, полудрагоценные и поделочные камни, используемые в ювелирном деле. Приведены примеры уникальных ювелирных изделий, изготовленных мастерами XVI—XVII веков и изделия современных российских мастеров.Книга будет полезна преподавателям, бакалаврам, магистрам и аспирантам, а так же учащимся колледжей и читателям, которые желают выбрать материал для изготовления ювелирных изделий в небольших частных мастерских.Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для бакалавров, магистров по специальности 26140002 «Технология художественной обработки материалов» и аспирантов специальности 170006 «Техническая эстетика и дизайн».

Грузовые автомобили. Охрана труда

Автомобиль – это источник повышенной опасности, поэтому управлять им могут только люди, прошедшие специальное обучение, имеющие медицинскую справку, стажировку.Книга посвящена вопросу охраны труда. В ней подробно изложены общие положения, которыми должны руководствоваться наниматели, внеплановые и текущие инструктажи для водителей, а также другие немаловажные моменты, обеспечивающие безопасность водителя.Отдельно рассмотрены дорожно-транспортные происшествия и их причины, исходные данные для проведения автотранспортной экспертизы, модели поведения в случаях попадания в ДТП, приближения к месту аварии, а также общий порядок оказания помощи и порядок оформления несчастных случаев.Кроме того, в книге можно найти информацию по правилам перевозки негабаритных и опасных грузов, а также системе информации об опасности (СИО).

Столярные и плотничные работы

Умение работать с благородным материалом – деревом – всегда высоко ценилось в России. Но приобретение умений и навыков мастера плотничных и столярных работ невозможно без правильного подхода к выбору материалов, инструментов, организации рабочего места, изучения технологических тонкостей, составляющих процесс обработки древесины. Эта книга покажет возможности использования этих навыков как в процессе строительства деревянного дома, так и при изготовлении мебели своими руками, поможет достичь определенных высот в этом увлекательном и полезном процессе.

Технический регламент о требованиях пожарной безопасности. Федеральный закон № 123-ФЗ от 22 июля 2008 г.

Настоящий Федеральный закон принимается в целях защиты жизни, здоровья, имущества граждан и юридических лиц, государственного и муниципального имущества от пожаров, определяет основные положения технического регулирования в области пожарной безопасности и устанавливает общие требования пожарной безопасности к объектам защиты (продукции), в том числе к зданиям, сооружениям и строениям, промышленным объектам, пожарно-технической продукции и продукции общего назначения. Федеральные законы о технических регламентах, содержащие требования пожарной безопасности к конкретной продукции, не действуют в части, устанавливающей более низкие, чем установленные настоящим Федеральным законом, требования пожарной безопасности.Положения настоящего Федерального закона об обеспечении пожарной безопасности объектов защиты обязательны для исполнения: при проектировании, строительстве, капитальном ремонте, реконструкции, техническом перевооружении, изменении функционального назначения, техническом обслуживании, эксплуатации и утилизации объектов защиты; разработке, принятии, применении и исполнении федеральных законов о технических регламентах, содержащих требования пожарной безопасности, а также нормативных документов по пожарной безопасности; разработке технической документации на объекты защиты.Со дня вступления в силу настоящего Федерального закона до дня вступления в силу соответствующих технических регламентов требования к объектам защиты (продукции), процессам производства, эксплуатации, хранения, транспортирования, реализации и утилизации (вывода из эксплуатации), установленные нормативными правовыми актами Российской Федерации и нормативными документами федеральных органов исполнительной власти, подлежат обязательному исполнению в части, не противоречащей требованиям настоящего Федерального закона.