Значительное внимание в настоящей главе уделяется логике высказываний и логике предикатов. Символический язык этих разделов математической логики широко используется не только в самой математике, но и в технической литературе. Кроме того можно полагать, что формальные методы логического обоснования станут со временем необходимым элементом при решении практических задач, а значит, и составной частью математического аппарата инженера. Этому в значительной мере способствует развитие автоматизации проектирования с применением вычислительной техники.
В заключительном параграфе приводятся некоторые сведения из теории алгоритмов, которые могут представлять интерес для инженеров в связи с задачами алгоритмизации процессов производства и проектирования.
1. Логические функции как отображения. Отличительная особенность логических функций состоит в том, что они принимают значения в конечных множествах. Иначе говоря, область значений логической функции всегда представляет собой конечную совокупность чисел, символов, понятий, свойств и, вообще, любых объектов. Если область значений функции содержит k различных элементов, то она называется k-значной функцией.
Чтобы различать элементы области значений функции, их необходимо как-то отметить. Удобнее всего элементы перенумеровать числами от 1 до k или обозначить какими-нибудь символами (например, буквами). Перечень всех символов, соответствующих области значений, называют алфавитом, а сами символы — буквами этого алфавита (буквами могут служить как собственно буквы латинского, русского или другого алфавита, так и порядковые числа или любые другие символы).
- 504 -
Логические функции могут зависеть от одной, двух и, вообще, любого числа переменных (аргументов) x>1, x>2, ..., x>n. В отличие от самой функции, аргументы могут принимать значения из элементов как конечных, так и бесконечных множеств.
В теоретико-множественном смысле логическая функция n переменных y = f(x>1, x>2, ..., x>n) представляет собой отображение множества наборов (n-мерных векторов, кортежей, последовательностей) вида (x>1, x>2, ..., x>n), являющегося областью ее определения, на множестве ее значений N = {α>1, α>2, ..., α>n}. Логическую функцию можно также рассматривать как операцию, заданную законом композиции X>1, X>2, ..., X>n где - множества, на которых определены аргументы x>1 ∈ X>1, x>2 ∈ X>2, ..., x>n ∈ X>n.
2. Однородные функции. Если аргументы принимают значения из того же множества, что и сама функция, то ее называют однородной функцией. В этом случае X>1 = Х>2 = ... = Х>n = N и однородная функция, рассматриваемая как закон композиции N>n → N определяет некоторую п-местную операцию на конечном множестве N.
Областью определения однородной функции у = f(х>1, х>2, ..., x>n) служит множество наборов (х>1, х>2, ..., x>n), называемых словами, где каждый из аргументов х>1, х>2, ..., x>n замещается буквами k-ичного алфавита {0, 1, ..., k -1}. Количество n букв в данном слове определяет его длину.
Очевидно, число всевозможных слов длины n в k-ичном алфавите равно k>n. Так как каждому такому слову имеется возможность предписать одно из k значений множества N, то общее количество однородных функций от n переменных выражается числом k>(kn).
Если буквами алфавита служат числа от 0 до k - 1, то каждое слово (х>1, х>2, ..., x>n) символически представляется упорядоченной последовательностью n таких чисел и рассматривается как запись n-разрядного числа в позиционной системе счисления с основанием k, т. е. x>1k>n -1 + x>2k>n –2 + … + x>n> -1k>1 + x>nk>0 = q. Числа q = 0, 1, ..., k>n - 1 служат номерами слов и тем самым на множестве всех слов вводится естественная упорядоченность (отношение строгого порядка). Аналогично номерами функций можно считать k>n -разрядные числа в той же системе счисления.
Различные слова длины n в данном алфавите образуются как n-перестановки с повторениями (2. 10. 1). Так, в трехзначном алфавите {0, 1, 2} словами длины 4 будут все четырехразрядные числа с основанием k = 3, т. е. 0000, 0001, 0002, 0010, 0011, ..., 2221, 2222, которые соответствуют десятичным числам от 0 до 80 = 2 · З>3+ 2 · З>2+ 2 · З>1 + 2 · 3>0. Поставив каждому такому четырехразрядному числу в соответствие одну из букв алфавита {0, 1, 2}, получим некоторую функцию четырех переменных
- 505 -
f>i(х>1, х>2, x>3, x>4), причем количество таких функций выражается огромным числом 3>81.
Пусть алфавит состоит из трех букв русского алфавита {о, п, т}. Множество пятибуквенных слов в этом алфавите состоит из 3>5 = 243 элементов. Наряду с такими имеющими прямой смысл словами, как «топот» и «потоп», оно также включает все другие 5-перестановки, например: «ооппт», «поппп», «тттоп» и др.
Примерами однородных логических функций двух переменных могут служить операции сложения и умножения одноразрядных m-значных чисел по модулю т (2. 8. 7), внутренние операции поля Галуа (2. 8. 9) с четырехзначным алфавитом {0, 1, А, В} и т. п.
3. Табличное задание функций. Как и бинарный закон композиции (2. 7. 2), однородная функция двух переменных может быть задана таблицей соответствия (матрицей), строки и столбцы которой соответствуют буквам алфавита. Таким способом представлялись функции одной и двух переменных в (1. 5. 2),(1. 5. 8) и (1. 5. 10). Для представления функций трех и большего числа переменных потребовались бы трехмерные и, вообще,
