Математический аппарат инженера - [32]

Вопросы математического образования инженеров в современных условиях обсуждаются в сборнике статей видных советских математиков «Математическое образование сегодня» (М., «Знание», 1974).

Среди справочников, пожалуй, наиболее близок к современным потребностям инженера «Справочник по математике для научных работников и инженеров» Г. Корна и Т. Корн (М., «Наука», 1968). Он широко охватывает материал классических и новых разделов математики, являющихся необходимым орудием для инженеров-исследователей. Много внимания уделяется связи рассматриваемых математических вопросов с прикладными задачами. Разумеется, не нуждаются в рекомендации «Справочник по высшей математике» М.Я. Выгодского и «Справочник по математике» И.Н. Бронштейна и К.А, Семендяева, выдержавшие по несколько изданий и широко используемые инженерами и учащимися.

Глава 2 Множества

Элементами множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания.

Н. Н. Лузин

Одной из характерных черт современной математики и ее приложений является господство теоретико-множественной точки зрения. Язык теории множеств, включающий большое число различных понятий и связей между ними, все глубже проникает в техническую литературу. Поэтому инженер должен понимать этот язык и уметь им пользоваться.

Алгебраические операции над множествами и их свойства излагаются с применением кругов Эйлера и диаграмм Венна, а бинарные отношения иллюстрируются на матрицах и графах. Благодаря этому основные понятия теории множеств получают наглядное представление в привычной для инженера графической или табличной форме.

Центральное место в этой главе занимает теория отношений, которая оказалась простым и удобным аппаратом для самых разнообразных задач. На ее основе обобщается понятие функции, применимое не только к числовым множествам, но и к множествам объектов любой природы. Особо выделяются три типа бинарных отношений: эквивалентность, упорядоченность и толерантность, которые наиболее часто встречаются в практике.

Большое значение в математике имеют отношения, называемые законами композиции, которые ставят в соответствие паре каких-либо элементов третий элемент из одного и того же или из различных множеств. Определяя не некотором множестве один или два таких закона и наделяя их некоторыми свойствами, получаем различные алгебраические системы: группы, кольца, поля, тела и т.д. Эти и подобные им абстрактные понятия являются обобщениями самых разнообразных объектов исследования как в самой математике, так и в специальных областях науки и техники. В качестве примеров рассматриваются наиболее интересные с прикладной точки зрения алгебраические системы (группы подстановок, кольцо многочленов, тело кватернионов, поле комплексных чисел и др.).

- 85 -

Результатом далеко идущих обобщений обычного трехмерного пространства явилось понятие абстрактного пространства, которое в самом общем виде определяется как некоторое множество с заданными на нем отношением или законами композиции. Конкретизация множеств, свойств отношений и законов композиции приводит к различным типам пространств: метрическим и топологическим, линейным и евклидовым и т.д.

В заключительном параграфе настоящей главы излагаются основные понятия и методы комбинаторики. Ее основная задача состоит в исследовании расположения, упорядочения или выборки элементов конечных множеств в соответствии со специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть сделано. Комбинаторные методы находят все более широкое применение в инженерном деле, например, при решении транспортных задач, составлении расписаний, планировании производства, организации снабжения и сбыта, статистических методах контроля, составлении и декодировании шифров для передачи сообщений и т.п.

Восприятие использование абстрактного языка теории множеств и других разделов современной математики позволяют объединять и исследовать с единых позиций такие понятия и явления, которые ранее казались далекими и различными. При этом важно уметь применять к реальным явлениям те математические понятия и методы, которые наиболее близки к ним, и научиться за общими абстрактными понятиями видеть конкретные образы окружающего мира.

1. Алгебра множеств

1. Свойства операций над множествами. Операции над множествами, сформулированные в (1.2.7), как и операции над числами, обладают некоторыми свойствами (табл. 1). Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.

Тождества (1а)-(3а) выражают соответственно коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения, а тождества (1б)-(3б) — те же законы для пересечения. Соотношения (4а)-(7а) определяют свойства пустого множества ∅ и универсума U относительно объединения, а соотношения (4б) — (7б) — относительно пересечения.

Выражения (8а) и (8б), называемые законами идемпотентности, позволяют записывать формулы с множества без коэффициентов и показателей степени. Зависимости (9а) и (9б) представляют законы поглощения, а (10а) и (10б) — теоремы де Моргана.