Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы - [8]

Шрифт
Интервал

2. Найдите значение выражения Зх3+ 2х2+ х, если

3. Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, каждый со скоростью 50 км/ч. Но вместе с первым велосипедистом из города^ вылетает муха, пролетающая в час 120 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В, и так продолжает она свои полеты взад и вперед до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?

4. Школьник сказал своему приятелю Вите:

– У нас в классе семнадцать человек. И, представь, каждый из них дружит ровно с пятью одноклассниками.

– Не может этого быть, – сразу ответил Витя.

Почему он так решил?

5. Женю, Леву и Гришу рассадили так, что Женя мог видеть Леву и Гришу, Лева-только Гришу, а Гриша – никого. Потом из мешка, в котором лежали две белые и три черные шапки (содержимое мешка было известно мальчикам), достали и надели на каждого шапку неизвестного ему цвета, а две шапки остались в мешке (какие именно – мальчикам неизвестно).

Женя сказал, что он не может определить цвет своей шапки. Лева слышал ответ Жени и сказал, что и у него не хватает данных для определения цвета своей шапки. Мог ли Гриша на основании этих ответов определить цвет своей шапки? Если нет, то почему; если да, то как?

6. «То» да «это», да половина «того» да «этого» – сколько это будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?

10 тур

1. На экзамене преподаватель предлагает студенту пять вопросов, на которые надо ответить «да» или «нет». Студент знает, что ответов «да» больше, чем «нет», и что преподаватель никогда не задает три вопроса подряд, требующие одинакового ответа. Из содержания первого и последнего вопросов ему ясно, что ответы на них должны быть противоположны. Единственный вопрос, ответ на который ему известен, – второй. И этот ответ – «нет». Какими должны быть ответы на эти пять вопросов?

2. В меню входят: овощной суп или бульон на первое, бифштекс, цыпленок или рыба на второе и компот или мороженое на третье. Полный обед состоит из одного блюда на первое, одного блюда на второе и одного блюда на третье.

а) Сколько может быть различных полных обедов?

б) Сколько может быть полных обедов с бифштексом в качестве второго?

3. Имеется девять монет, о которых известно, что восемь из них имеют одинаковый вес, а девятая несколько тяжелее остальных. Покажите, что более тяжелая монета может быть отделена от остальных посредством двух взвешиваний на чашечных весах (без гирь).

4. Изготовление книги включает в себя несколько стадий: сначала ее набирают, затем печатают и наконец делают к ней обложку и переплетают. Допустим, что наборщик берет 6 долларов (600 центов) в час, бумага стоит 1/4 цента за лист, печатник берет 11 центов за каждую минуту работы его пресса, обложка стоит 28 центов и переплетчик берет 15 центов за переплетение каждой книги. Допустим теперь, что издатель хочет напечатать книгу, для которой требуется 300 ч работы наборщика, 220 листов бумаги на один экземпляр и 5 мин работы одного печатного пресса на каждый экземпляр. Найдите стоимость издания одного экземпляра книги.

5. Что больше и на сколько: 20 % от 30 или 30 % от 20?

6. Маша съедает коробку конфет за 5 мин, а Даша – за 6 мин. За какое время будут съедены все конфеты, если Маша и Даша займутся решением данного вопроса одновременно?

Суперлига

1 тур

1. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела 3 щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

2. В бочке 10 литров бензина. Как отлить из нее 6 литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

3. Отец старше сына в 4 раза, а сумма их возрастов составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет втрое старше сына?

4. Расставьте в записи 4 ? 12 + 18:6 + 3 скобки так, чтобы получилось: а) число 50; б) наименьшее возможное число; в) наибольшее возможное число.

5. При сложении двух целых чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Определите слагаемые.

6. При делении одного числа на другое получилось в частном 28 и в остатке 84. Как изменится частное и как изменится остаток, если делимое и делитель уменьшить в 7 раз?

2 тур

1. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили вряд. Чему равна длина ряда?

2. Применяя знаки арифметических действий и, возможно, скобки, запишите восемью двойками число 200 (разрешено использовать такие числа, как 22, 222, 2222 и т. д.).

3. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если справа к нему приписать такое же число? Ответ подтвердите двумя примерами.

4. Докажите, что из любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.

5. Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Продолжить чтение
Еще от автора Андрей Николаевич Павлов
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.Для учителей и учащихся 9-х классов.

Интеллектуальные марафоны в школе. 5-11 классы

В пособии представлены материалы для проведения интеллектуальных марафонов – разнообразных по форме конкурсов знаний учеников 5-11 классов по всем предметам школьной программы. Завоевавшие популярность благодаря телевидению, такие конкурсы сочетают увлекательность игры и спортивную соревновательность, развивают интерес к знаниям, память и внимание, активизируют общение и творческую энергию участников.Для учителей, педагогов – организаторов внеклассной работы в общеобразовательных школах, гимназиях и лицеях.

Рекомендуем почитать
Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.

Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.

Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.

Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.

Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.