Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы - [10]

Шрифт
Интервал

6. Сколько квадратов «спрятано» на рисунке?

7 тур

1. На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? Ответ обоснуйте.

2. Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.

3. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 мин до звонка, а если вернется домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошел до того, как вспомнил о ручке?

4. 20 черных коров и 15 рыжих дают за неделю столько молока, сколько 12 черных коров и 20 рыжих. У каких коров больше удои: у черных или у рыжих? Ответ обоснуйте.

5. Если написать любое двузначное число, а затем поменять местами в этом числе цифры и вычесть из большего числа меньшее, то получится число, которое делится на 9. Почему?

6. Два лесоруба, Никита и Павел, работали вместе в лесу и сели завтракать. У Никиты было 6 лепешек, у Павла – 9. Тут к ним подошел охотник.

– Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется; поделитесь со мною хлебом-солью!

– Ну, что ж, садись; чем богаты, тем и рады, – сказали Никита и Павел.

15 лепешек были разделены поровну на троих. После завтрака охотник пошарил в карманах, нашел 15 р. и сказал:

– Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!

Охотник ушел, а лесорубы заспорили. Никита говорит:

– По-моему, деньги надо разделить поровну!

А Павел ему возражает:

– За 15 лепешек 15 р. И на лепешку приходится по рублю. У тебя было 6 лепешек, тебе 6 р., у меня 9 лепешек, мне 9 р.!

Кто из них сделал правильный расчет?

8 тур

1. Число увеличено на 25 %. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?

2. Три бегуна – Антон, Сережа и Толя – участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Сережа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Сережа – Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

3. Директор завода, рассматривая список телефонных номеров и фамилий своих сотрудников, заметил определенную взаимосвязь между фамилиями и номерами телефонов. Вот некоторые фамилии и номера телефонов из списка:

Какой номер телефона у сотрудника по фамилии Железнов?

4. На столе лежат в ряд пять монет: средняя – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом? Ответ обоснуйте.

5. Точки К и М – середины сторон квадрата. Какую часть площадь закрашенного треугольника составляет от площади всего квадрата?

6. Сестре втрое больше лет, чем было брату тогда, когда сестре было столько лет, сколько брату теперь. Когда брату будет столько лет, сколько сестре сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет сестре и сколько брату?

9 тур

1. По углам бассейна квадратной формы стоят четыре столба. Потребовалось расширить этот бассейн так, чтобы площадь его стала в два раза больше, а форма осталась бы квадратной. Можно ли это сделать, не убирая столбов, причем так, чтобы все столбы остались стоящими по периметру бассейна? Если можно, то как?

2. Докажите, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

3. Внутренние покои дворца султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10x10. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. Сколько дверей во дворце?

4. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

5. Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день – ложь.

Приговоренному разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?

6. Найдите такие натуральные числа х, у, z, что

10 тур

1. Специально обученные собака и кошка участвуют в забеге: вперед по прямой до стены и обратно. Собака преодолевает за один прыжок 3 м, а кошка-только 2; но зато она делает 3 прыжка, в то время как собака делает 2. Скажите, каков при этих обстоятельствах возможный исход состязания, если до стены а) 12 м; б) 14 м; в) 15 м? Все ответы обоснуйте.

Продолжить чтение
Еще от автора Андрей Николаевич Павлов
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.Для учителей и учащихся 9-х классов.

Интеллектуальные марафоны в школе. 5-11 классы

В пособии представлены материалы для проведения интеллектуальных марафонов – разнообразных по форме конкурсов знаний учеников 5-11 классов по всем предметам школьной программы. Завоевавшие популярность благодаря телевидению, такие конкурсы сочетают увлекательность игры и спортивную соревновательность, развивают интерес к знаниям, память и внимание, активизируют общение и творческую энергию участников.Для учителей, педагогов – организаторов внеклассной работы в общеобразовательных школах, гимназиях и лицеях.

Рекомендуем почитать
Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.

Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.

Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.

Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.

Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.