Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы - [9]

Шрифт
Интервал

6. На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка, причем отнюдь не посередке. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

3 тур

1. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Берут из этой коробки наугад несколько карандашей. Какое наименьшее число карандашей надо взять из коробки, чтобы среди них с гарантией оказалось не менее: а) двух цветных; б) трех простых?

2. Поблизости один от другого расположены два населенных пункта, А и В. Все жители А говорят только правду, а жители В всегда лгут. Жители А и В посещают друг друга. Ты находишься в каком-то из этих пунктов. Какой вопрос (только один) ты можешь задать первому встретившемуся тебе в этом пункте человеку, чтобы по ответу на этот вопрос ты мог установить, А это или В?

3. Два мальчика играли в шашки. Положение первого игрока стало ухудшаться. Пока он обдумывал очередной ход, второй игрок рассматривал доску, на которой стояли шашки. Оказалось, что пустых клеток на доске было втрое больше, чем занятых шашками, и что у него на две шашки больше, чем у первого игрока. Сколько шашек у каждого игрока было в это время на доске?

4. Школьники ехали на автомашине из деревни в город. Когда они проехали 3/4 пути, автомашина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути школьники проделали пешком, затратив на это времени в четыре раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрей ехали школьники на автомашине, чем шли пешком?

5. Дано трехзначное число ABB, произведение цифр которого – двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно С (здесь цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные). Определите исходное число.

6. Ребята принесли из леса по полной корзинке грибов. Всего было собрано 289 грибов, причем в каждой корзинке их оказалось одинаковое количество. Сколько было ребят?

4 тур

1. Упростите выражение (2 + х – 1 + Зх): (7х + 6 – 3х – 5).

2. Восстановите недостающие цифры:

3. На колхозном рынке продаются два арбуза разных размеров. Первый в диаметре 40 см, а второй – 80 см. Первый арбуз стоит 30 р., второй арбуз стоит 180 р. Какой из арбузов выгоднее купить и почему?

4. Перед нами толстая дощечка с тремя отверстиями: квадратным, треугольным и круглым (на рисунке дан вид сверху). Может ли существовать одна затычка такой формы, чтобы закрывать все эти отверстия? Если да, то опишите ее. Если нет – обоснуйте невозможность создания такой затычки.

5. Со стартовой площадки вылетел на север вертолет. Пролетев в северном направлении 100 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 100 км, вертолет сделал новый поворот – на юг и прошел в южном направлении 100 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 100 км, опустился. Спрашивается: где расположено место спуска вертолета относительно стартовой площадки – к западу, к востоку, к северу или югу? Подсказка: Земля имеет форму, близкую к шару, а потому вертолет не вернется на стартовую площадку!

6. Сколько существует трехзначных натуральных чисел с четными цифрами, таких, что: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры в числе могут повторяться; в) ровно две цифры в числе повторяются?

5 тур

1. Сможете ли вы найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами?

2. Первый вторник месяца Митя провел в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника – в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провел в Пскове, а первый вторник после первого понедельника – во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

3. Сколько нечетных чисел заключено между 300 и 700?

4. Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Сколько попыток вы попросите вам предоставить, чтобы наверняка открыть все чемоданы?

5. В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каждый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков; занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место не проиграл ни одной партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной партии. Определите результаты всех партий турнира.

6. Начнем считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвертый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 1992-м?

6 тур

1. Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА= БАХ.

2. Сколько нулей на конце этого числа: 1 ? 2 ? 3 ? 4... ? 50?

3. Некоторое число уменьшили на 7, потом уменьшили в 10 раз и получили число, которое на 34 меньше исходного. Найдите исходное число.

4. Яша идет от дома до школы 30 мин, а его брат Петя 40 мин. Петя вышел из дома на 5 мин раньше Яши. Через сколько минут Яша догонит Петю?

5. Пятиклассники ехали на автомашине из деревни в город. Когда они проехали 4/5 пути, автомашина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути пятиклассники проделали пешком, затратив на это времени в 3 раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрей ехали пятиклассники на автомашине, чем шли пешком?

Продолжить чтение
Еще от автора Андрей Николаевич Павлов
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.Для учителей и учащихся 9-х классов.

Интеллектуальные марафоны в школе. 5-11 классы

В пособии представлены материалы для проведения интеллектуальных марафонов – разнообразных по форме конкурсов знаний учеников 5-11 классов по всем предметам школьной программы. Завоевавшие популярность благодаря телевидению, такие конкурсы сочетают увлекательность игры и спортивную соревновательность, развивают интерес к знаниям, память и внимание, активизируют общение и творческую энергию участников.Для учителей, педагогов – организаторов внеклассной работы в общеобразовательных школах, гимназиях и лицеях.

Рекомендуем почитать
Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.

Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.

Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.

Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.

Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.